En estadística , la transformada de Anscombe , que lleva el nombre de Francis Anscombe , es una transformación estabilizadora de la varianza que transforma una variable aleatoria con una distribución de Poisson en una con una distribución gaussiana aproximadamente estándar . La transformada de Anscombe se usa ampliamente en imágenes de fotones limitados (astronomía, rayos X) donde las imágenes siguen naturalmente la ley de Poisson. La transformada de Anscombe se usa generalmente para preprocesar los datos con el fin de hacer que la desviación estándar sea aproximadamente constante. Luego, algoritmos de eliminación de ruido diseñados para el marco del ruido gaussiano blanco aditivoson usados; Luego, la estimación final se obtiene aplicando una transformación de Anscombe inversa a los datos eliminados.
Definición
Para la distribución de Poisson, la media y varianza no son independientes: . La transformada de Anscombe [1]
tiene como objetivo transformar los datos para que la varianza se establezca aproximadamente en 1 para una media suficientemente grande; para la media cero, la varianza sigue siendo cero.
Transforma los datos de Poisson (con media ) a aproximadamente datos gaussianos de media y desviación estándar . Esta aproximación se vuelve más precisa para, [2] como también se puede ver en la figura.
Para una variable transformada de la forma , la expresión de la varianza tiene un término adicional ; se reduce a cero en, que es exactamente la razón por la que se eligió este valor.
Inversión
Cuando la transformada de Anscombe se utiliza para eliminar ruido (es decir, cuando el objetivo es obtener de una estimación de ), su transformación inversa también es necesaria para devolver los datos estabilizados por varianza y sin ruido. al rango original. Aplicando el inverso algebraico
generalmente introduce sesgos no deseados en la estimación de la media, porque la transformada de raíz cuadrada directa no es lineal . A veces, se usa la inversa asintóticamente insesgada [1]
mitiga el problema del sesgo, pero este no es el caso en las imágenes con limitación de fotones, para las cuales el inverso imparcial exacto dado por el mapeo implícito [3]
debería ser usado. Una aproximación de forma cerrada de este inverso insesgado exacto es [4]
Alternativas
Hay muchas otras posibles transformaciones estabilizadoras de la varianza para la distribución de Poisson. Bar-Lev y Enis informan [2] de una familia de tales transformaciones que incluye la transformada de Anscombe. Otro miembro de la familia es la transformación Freeman-Tukey [5]
Una transformación simplificada, obtenida como la primitiva del recíproco de la desviación estándar de los datos , es
lo cual, si bien no es tan bueno para estabilizar la varianza, tiene la ventaja de ser más fácil de entender. De hecho, desde el método delta ,
.
Generalización
Si bien la transformada de Anscombe es apropiada para datos de Poisson puros, en muchas aplicaciones los datos también presentan un componente gaussiano aditivo. Estos casos son tratados por una transformada de Anscombe generalizada [6] y sus inversas asintóticamente insesgadas o insesgadas exactas. [7]
Ver también
Referencias
- ^ a b Anscombe, FJ (1948), "La transformación de Poisson, datos binomiales y binomiales negativos", Biometrika , [Oxford University Press, Biometrika Trust], 35 (3-4), págs. 246-254, doi : 10.1093 / biomet / 35.3-4.246 , JSTOR 2332343
- ^ a b Bar-Lev, SK; Enis, P. (1988), "Sobre la elección clásica de las transformaciones estabilizadoras de la varianza y una aplicación para una variante de Poisson", Biometrika , 75 (4), págs. 803–804, doi : 10.1093 / biomet / 75.4.803
- ^ Mäkitalo, M .; Foi, A. (2011), "Inversión óptima de la transformación de Anscombe en la eliminación de ruido de imágenes de Poisson de recuento bajo", IEEE Transactions on Image Processing , 20 (1), pp. 99–109, Bibcode : 2011ITIP ... 20 .. .99M , CiteSeerX 10.1.1.219.6735 , doi : 10.1109 / TIP.2010.2056693 , PMID 20615809
- ^ Mäkitalo, M .; Foi, A. (2011), "Una aproximación de forma cerrada del inverso exacto insesgado de la transformación de estabilización de varianza de Anscombe", IEEE Transactions on Image Processing , 20 (9), págs. 2697-2698, Bibcode : 2011ITIP .. .20.2697M , doi : 10.1109 / TIP.2011.2121085
- ^ Freeman, MF; Tukey, JW (1950), "Transformaciones relacionadas con la raíz angular y cuadrada", The Annals of Mathematical Statistics , 21 (4), págs. 607–611, doi : 10.1214 / aoms / 1177729756 , JSTOR 2236611
- ^ Starck, JL; Murtagh, F .; Bijaoui, A. (1998). Procesamiento de imágenes y análisis de datos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521599146.
- ^ Mäkitalo, M .; Foi, A. (2013), "Inversión óptima de la transformación de Anscombe generalizada para ruido de Poisson-Gauss", IEEE Transactions on Image Processing , 22 (1), pp. 91-103, Bibcode : 2013ITIP ... 22 ... 91M , doi : 10.1109 / TIP.2012.2202675 , PMID 22692910
Otras lecturas
- Starck, J.-L .; Murtagh, F. (2001), "Procesamiento de señales e imágenes astronómicas: mirando el ruido, la información y la escala", Signal Processing Magazine, IEEE , 18 (2), pp. 30–40, Bibcode : 2001ISPM ... 18 .. .30S , doi : 10.1109 / 79.916319