En matemáticas y física teórica , un álgebra de Gerstenhaber (a veces llamada álgebra antibracket o álgebra trenzada ) es una estructura algebraica descubierta por Murray Gerstenhaber (1963) que combina las estructuras de un anillo superconmutativo y una superalgebra de Lie graduada . Se utiliza en el formalismo Batalin-Vilkovisky . Aparece también en la generalización del formalismo hamiltoniano conocida como la teoría de De Donder-Weyl como el álgebra de los corchetes de Poisson generalizados definidos en formas diferenciales.
Definición
Un álgebra de Gerstenhaber es un álgebra conmutativa graduada con un corchete de Lie de grado -1 que satisface la identidad de Poisson . Se entiende que todo satisface las convenciones habituales de los signos de superalgebra . Más precisamente, el álgebra tiene dos productos, uno escrito como multiplicación ordinaria y otro escrito como [,], y un grado Z llamado grado (en física teórica a veces llamado número fantasma ). El grado de un elemento a se denota por | a |. Estos satisfacen las identidades
- | ab | = | a | + | b | (El producto tiene grado 0)
- | [ a , b ] | = | a | + | b | - 1 (El corchete de Lie tiene grado -1)
- ( ab ) c = a ( bc ) (El producto es asociativo)
- ab = (−1) | a || b | ba (El producto es (super) conmutativo)
- [ a , bc ] = [ a , b ] c + (−1) (| a | -1) | b | b [ a , c ] (identidad de Poisson)
- [ a , b ] = - (- 1) (| a | -1) (| b | -1) [ b , a ] (Antisimetría del soporte de Lie)
- [ a , [ b , c ]] = [[ a , b ], c ] + (−1) (| a | -1) (| b | -1) [ b , [ a , c ]] (El Jacobi identidad para el soporte de Lie)
Las álgebras de Gerstenhaber se diferencian de las superalgebras de Poisson en que el corchete de Lie tiene un grado -1 en lugar de un grado 0. La identidad de Jacobi también se puede expresar en una forma simétrica
Ejemplos de
- Gerstenhaber demostró que la cohomología de Hochschild H * ( A , A ) de un álgebra A es un álgebra de Gerstenhaber.
- Un álgebra de Batalin-Vilkovisky tiene un álgebra de Gerstenhaber subyacente si se olvida su operador Δ de segundo orden.
- El álgebra exterior de un álgebra de Lie es un álgebra de Gerstenhaber.
- Las formas diferenciales en una variedad de Poisson forman un álgebra de Gerstenhaber.
- Los campos multivectoriales en una variedad forman un álgebra de Gerstenhaber usando el corchete de Schouten-Nijenhuis
Referencias
- Gerstenhaber, Murray (1963). "La estructura de cohomología de un anillo asociativo". Annals of Mathematics . 78 (2): 267–288. doi : 10.2307 / 1970343 . JSTOR 1970343 .
- Getzler, Ezra (1994). "Álgebras de Batalin-Vilkovisky y teorías de campos topológicos bidimensionales". Comunicaciones en Física Matemática . 159 (2): 265-285. arXiv : hep-th / 9212043 . Código Bibliográfico : 1994CMaPh.159..265G . doi : 10.1007 / BF02102639 .
- Kosmann-Schwarzbach, Yvette (2001) [1994], "Álgebra de Poisson" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Kanatchikov, Igor V. (1997). "Sobre generalizaciones teóricas de campo de un álgebra de Poisson". Informes de Física Matemática . 40 (2): 225–234. arXiv : hep-th / 9710069 . Código Bibliográfico : 1997RpMP ... 40..225K . doi : 10.1016 / S0034-4877 (97) 85919-8 .