Deje que k sea un campo, A un asociativa k - álgebra , y M un A - bimodule . El álgebra envolvente de A es el producto tensorialde A con su álgebra opuesta . Los bimódulos sobre A son esencialmente los mismos que los módulos sobre el álgebra envolvente de A , por lo que, en particular, A y M se pueden considerar como A e- módulos. Cartan y Eilenberg (1956) definieron el grupo de homología y cohomología de Hochschild de A con coeficientes en M en términos del functor Tor y el functor Ext por
La homología de Hochschild es la homología de este módulo simple.
Relación con el complejo de bares
Hay un complejo de apariencia similar llamado el complejo Bar, que formalmente se parece mucho al complejo Hochschild [1] pág . 4-5 . De hecho, el complejo Hochschild se puede recuperar del complejo de bares como
dando un isomorfismo explícito.
Como una auto-intersección derivada
Hay otra interpretación útil del complejo de Hochschild en el caso de anillos conmutativos, y más en general, para haces de anillos conmutativos: se construye a partir de la auto-intersección derivada de un esquema (o incluso esquema derivado). sobre algún esquema base . Por ejemplo, podemos formar el producto de fibra derivado
que tiene el haz de anillos derivados . Entonces, si incrustar con el mapa diagonal
El complejo de Hochschild se construye como el retroceso de la autointersección derivada de la diagonal en el esquema del producto diagonal.
A partir de esta interpretación, debería quedar claro que la homología de Hochschild debería tener alguna relación con los diferenciales de Kahler ya que los diferenciales de Kahler se pueden definir usando una auto-intersección de la diagonal, o más generalmente, el complejo cotangenteya que este es el reemplazo derivado de los diferenciales de Kahler. Podemos recuperar la definición original del complejo de Hochschild de un conmutativo -álgebra configurando
y
Entonces, el complejo de Hochschild es cuasi-isomorfo para
Si es un piso -álgebra, luego está la cadena de isomorfismo
dando una presentación alternativa pero equivalente del complejo Hochschild.
Homología Hochschild de functores
El circulo simplicial es un objeto simple en la categoría de conjuntos puntiagudos finitos, es decir, un funtor Por tanto, si F es un funtor, obtenemos un módulo simple componiendo F con.
La homología de este módulo simplicial es la homología Hochschild del funtor F . La definición anterior de homología de Hochschild de álgebras conmutativas es el caso especial donde F es el funtor de Loday .
Loday functor
Un esqueleto para la categoría de conjuntos puntiagudos finitos está dado por los objetos
donde 0 es el punto base y los morfismos son el punto base que conserva los mapas de conjuntos. Sea A un k-álgebra conmutativa y M un módulo A simétrico [ se necesita más explicación ] . El functor de Loday se da en objetos en por
Un morfismo
se envía al morfismo dada por
dónde
Otra descripción de la homología de álgebras de Hochschild
La homología de Hochschild de un álgebra conmutativa A con coeficientes en un simétrico A- bimódulo M es la homología asociada a la composición
y esta definición concuerda con la anterior.
Ejemplos de
Los ejemplos de cálculos de homología de Hochschild se pueden estratificar en varios casos distintos con teoremas bastante generales que describen la estructura de los grupos de homología y el anillo de homología. para un álgebra asociativa . Para el caso de las álgebras conmutativas, hay una serie de teoremas que describen los cálculos sobre la característica 0 que dan una comprensión directa de lo que calculan la homología y la cohomología.
Característica conmutativa 0 caso
En el caso de las álgebras conmutativas dónde , la homología de Hochschild tiene dos teoremas principales sobre álgebras suaves y álgebras no planas más generales ; pero el segundo es una generalización directa del primero. En el caso suave, es decir, para un álgebra suave, el teorema de Hochschild-Kostant-Rosenberg [2] pg 43-44 establece que hay un isomorfismo
para cada . Este isomorfismo se puede describir explícitamente utilizando el mapa anti-simetrización. Es decir, una forma n diferencial tiene el mapa
Si el álgebra no es suave, ni siquiera plano, entonces existe un teorema análogo que usa el complejo cotangente . Para una resolución simple , establecimos . Entonces, existe un descendente -filtración en cuyas piezas graduadas son isomorfas a
Tenga en cuenta que este teorema hace que sea accesible para calcular la homología de Hochschild no solo para álgebras suaves, sino también para álgebras de intersección completa locales. En este caso, dada una presentación por , el complejo cotangente es el complejo de dos términos .
Anillos polinomiales sobre los racionales
Un ejemplo simple es calcular la homología Hochschild de un anillo polinomial de con -generadores. El teorema de HKR da el isomorfismo
donde el álgebra es el álgebra antisimétrica libre sobre en -generadores. Su estructura de producto está dada por el producto de cuña de los vectores, por lo que
por .
Característica conmutativa p caso
En el caso p característico, hay un contraejemplo útil para el teorema de Hochschild-Kostant-Rosenberg que aclara la necesidad de una teoría más allá de las álgebras simpliciales para definir la homología de Hochschild. Considera el-álgebra . Podemos calcular una resolución de como álgebras graduadas diferenciales libres
dando la intersección derivada dónde y el diferencial es el mapa cero. Esto se debe a que simplemente tensamos el complejo anterior mediante , dando un complejo formal con un generador en grado que cuadrados a . Entonces, el complejo de Hochschild viene dado por
Para calcular esto, debemos resolver como un -álgebra. Observe que la estructura del álgebra
efectivo . Esto da el término de grado cero del complejo. Entonces, porque tenemos que resolver el kernel, podemos tomar una copia de cambiado de grado y hacer que se asigne a , con kernel en grado Podemos realizar esto de forma recursiva para obtener el módulo subyacente del álgebra de potencias divididas
con y el grado de es , a saber . Tensando esta álgebra con encima da
desde multiplicado con cualquier elemento en es cero. La estructura del álgebra proviene de la teoría general sobre álgebras de potencia divididas y álgebras graduales diferenciales. [3] Tenga en cuenta que este cálculo se considera un artefacto técnico porque el anillo no se porta bien. Por ejemplo, . Una respuesta técnica a este problema es a través de la homología topológica Hochschild, donde el anillo base es reemplazado por el espectro de la esfera.
Homología topológica de Hochschild
La construcción anterior del complejo Hochschild se puede adaptar a situaciones más generales, es decir, reemplazando la categoría de (complejos de) -módulos por categoría ∞ (equipados con un producto tensor), y por un álgebra asociativa en esta categoría. Aplicando esto a la categoríade espectros , ysiendo el espectro de Eilenberg-MacLane asociado a un anillo ordinarioproduce homología topológica Hochschild , denotada. La homología de Hochschild (no topológica) introducida anteriormente se puede reinterpretar a lo largo de estas líneas, tomando porla categoría derivada de-módulos (como categoría ∞).
Reemplazo de productos tensoriales sobre el espectro de esferas por productos tensoriales sobre (o el espectro de Eilenberg-MacLane ) conduce a un mapa de comparación natural . Induce un isomorfismo en grupos de homotopía en grados 0, 1 y 2. En general, sin embargo, son diferentes ytiende a producir grupos más simples que HH. Por ejemplo,
es el anillo polinomial (con x en grado 2), comparado con el anillo de potencias divididas en una variable.
Lars Hesselholt ( 2016 ) mostró que la función zeta de Hasse-Weil de una variedad adecuada suave sobrepuede expresarse utilizando determinantes regularizados que implican homología topológica de Hochschild.
Ver también
Homología cíclica
Referencias
^ Mañana, Mateo. "Homología topológica de Hochschild en geometría aritmética" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 24 de diciembre de 2020.
^Ginzburg, Victor (29 de junio de 2005). "Conferencias sobre geometría no conmutativa". arXiv : matemáticas / 0506603 .
^"Sección 23.6 (09PF): resoluciones de Tate: el proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 31 de diciembre de 2020 .
Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1956), Álgebra homológica , Princeton Mathematical Series, 19 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04991-5, MR 0077480
Govorov, VE; Mikhalev, AV (2001) [1994], "Cohomología de álgebras" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Hesselholt, Lars (2016), Homología topológica de Hochschild y función zeta de Hasse-Weil , Contemporary Mathematics, 708 , pp. 157–180, arXiv : 1602.01980 , doi : 10.1090 / conm / 708/14264 , ISBN 9781470429119, S2CID 119145574
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Jean-Louis Loday , Homología cíclica , Grundlehren der Mathischen Wissenschaften Vol. 301, Springer (1998) ISBN 3-540-63074-0
Richard S. Pierce, Álgebras asociativas , Textos de posgrado en matemáticas (88), Springer, 1982.
Pirashvili, Teimuraz (2000). "Descomposición de Hodge para homología Hochschild de orden superior" . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 33 (2): 151-179. doi : 10.1016 / S0012-9593 (00) 00107-5 .
enlaces externos
Artículos introductorios
Dylan GL Allegretti, Formas diferenciales en espacios no conmutativos . Una introducción elemental a la geometría no conmutativa que utiliza la homología de Hochschild para generalizar formas diferenciales.
Ginzburg, Victor (2005). "Conferencias sobre geometría no conmutativa". arXiv : matemáticas / 0506603 .
Homología topológica de Hochschild en geometría aritmética
Cohomología Hochschild en nLab
Caso conmutativo
Antieau, Benjamín; Bhatt, Bhargav; Mathew, Akhil (2019). "Contraejemplos de Hochschild-Kostant-Rosenberg en característica p ". arXiv : 1909.11437 [ math.AG ].
Caso no conmutativo
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Quddus, Safdar (2020). "Estructuras de Poisson no conmutativas en orbifolds de toro cuántico". arXiv : 2006.00495 [ math.KT ].
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