En matemáticas , un álgebra de Poisson es un álgebra asociativa junto con un corchete de Lie que también satisface la ley de Leibniz ; es decir, el corchete también es una derivación . Las álgebras de Poisson aparecen de forma natural en la mecánica hamiltoniana y también son fundamentales en el estudio de los grupos cuánticos . Las variedades con una estructura de álgebra de Poisson se conocen como variedades de Poisson , de las cuales las variedades simplécticas y los grupos de Poisson-Lie son un caso especial. El álgebra recibe su nombre en honor a Siméon Denis Poisson .
Definición
Un álgebra de Poisson es un espacio vectorial sobre un campo K equipado con dos productos bilineales , ⋅ y {,}, que tienen las siguientes propiedades:
- El producto ⋅ forma un K- álgebra asociativa .
- El producto {,}, llamado paréntesis de Poisson , forma un álgebra de Lie , por lo que es antisimétrico y obedece a la identidad de Jacobi .
- El corchete de Poisson actúa como una derivación del producto asociativo ⋅, de modo que para cualesquiera tres elementos x , y y z en el álgebra, uno tiene { x , y ⋅ z } = { x , y } ⋅ z + y ⋅ { x , z }.
La última propiedad a menudo permite dar una variedad de formulaciones diferentes del álgebra, como se indica en los ejemplos siguientes.
Ejemplos de
Las álgebras de Poisson ocurren en varios entornos.
Variedades simplécticas
El espacio de funciones suaves de valor real sobre una variedad simpléctica forma un álgebra de Poisson. En una variedad simpléctica, cada función de valor real H en la variedad induce un campo vectorial X H , el campo vectorial hamiltoniano . Entonces, dadas cualesquiera dos funciones suaves F y G sobre la variedad simpléctica, el corchete de Poisson se puede definir como:
- .
Esta definición es consistente en parte porque el corchete de Poisson actúa como una derivación. De manera equivalente, se puede definir el corchete {,} como
donde [,] es la derivada de Lie . Cuando la variedad simpléctica es R 2 n con la estructura simpléctica estándar, entonces el corchete de Poisson adquiere la forma conocida
Se aplican consideraciones similares para las variedades de Poisson , que generalizan las variedades simplécticas al permitir que el bivector simpléctico se desvanezca en algunas (o trivialmente, todas) de las variedades.
Álgebras de mentira
El álgebra tensorial de un álgebra de Lie tiene una estructura de álgebra de Poisson. Una construcción muy explícita de esto se da en el artículo sobre álgebras envolventes universales .
La construcción procede construyendo primero el álgebra tensorial del espacio vectorial subyacente del álgebra de Lie. El álgebra tensorial es simplemente la unión disjunta ( suma directa ⊕) de todos los productos tensoriales de este espacio vectorial. Entonces se puede demostrar que el corchete de Lie puede elevarse consistentemente a todo el álgebra tensorial: obedece tanto a la regla del producto como a la identidad de Jacobi del corchete de Poisson, y por lo tanto es el corchete de Poisson, cuando se levanta. El par de productos {,} y ⊗ forman un álgebra de Poisson. Observe que ⊗ no es conmutativo ni es anticonmutativo: es meramente asociativo.
Por tanto, se tiene la afirmación general de que el álgebra tensorial de cualquier álgebra de Lie es un álgebra de Poisson. El álgebra envolvente universal se obtiene modificando la estructura del álgebra de Poisson.
Álgebras asociativas
Si A es un álgebra asociativa , a continuación, imponer el conmutador [ x , Y ] = xy - yx se convierte en un álgebra de Poisson (y por lo tanto, también un álgebra de Lie) A L . Tenga en cuenta que la A L resultante no debe confundirse con la construcción del álgebra tensorial descrita en la sección anterior. Si se desea, también se podría aplicar esa construcción, pero eso daría un álgebra de Poisson diferente, una que sería mucho más grande.
Álgebras de operadores de vértice
Para un álgebra de operadores de vértice (V, Y, ω, 1) , el espacio V / C 2 (V) es un álgebra de Poisson con {a, b} = a 0 b y a ⋅ b = a −1 b . Para ciertas álgebras de operadores de vértice, estas álgebras de Poisson son de dimensión finita.
Ver también
Referencias
- Y. Kosmann-Schwarzbach (2001) [1994], "Álgebra de Poisson" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Bhaskara, KH; Viswanath, K. (1988). Álgebras de Poisson y variedades de Poisson . Longman. ISBN 0-582-01989-3.