En geometría diferencial , una estructura de Poisson en un colector liso es un soporte de mentira (llamado corchete de Poisson en este caso especial) en el álgebrade funciones suaves en, sujeto a la regla de Leibniz
- .
Equivalentemente, define una estructura de álgebra de Lie en el espacio vectorial de funciones suaves en tal que es un campo vectorial para cada función suave (haciendo en un álgebra de Poisson ).
Las estructuras de Poisson fueron introducidas por André Lichnerowicz en 1977. [1] Fueron estudiadas más a fondo en el artículo clásico de Alan Weinstein , [2] donde se probaron por primera vez muchos teoremas de estructura básica, y que ejerció una gran influencia en el desarrollo de la geometría de Poisson - que hoy está profundamente enredado con la geometría no conmutativa , los sistemas integrables , las teorías de campos topológicos y la teoría de la representación , por nombrar algunos.
Las estructuras de Poisson llevan el nombre del matemático francés Siméon Denis Poisson .
Definición
Hay dos puntos de vista principales para definir las estructuras de Poisson: es habitual y conveniente alternar entre ellas, y lo haremos a continuación.
Como soporte
Dejar sé un colector suave y deja denotar el álgebra real de funciones suaves de valor real en , donde la multiplicación se define puntualmente. Un soporte de Poisson (o estructura de Poisson ) en es un -mapa bilineal
definir una estructura de álgebra de Poisson en, es decir, cumpliendo las siguientes tres condiciones:
Las dos primeras condiciones aseguran que define una estructura de álgebra de Lie en , mientras que el tercero garantiza que, para cada , el mapa lineal es una derivación del álgebra , es decir, define un campo vectorial llamado el campo vectorial hamiltoniano asociado a.
Elegir algunas coordenadas locales , cualquier paréntesis de Poisson viene dado por
Como bivector
Un bivector de Poisson en un colector liso es un campo bivector satisfaciendo la ecuación diferencial parcial no lineal , dónde
denota el corchete de Schouten-Nijenhuis en campos multivectoriales. Elegir algunas coordenadas locales, cualquier bivector de Poisson viene dado por
Equivalencia de las definiciones
Dejar ser un corchete bilineal simétrico sesgado que satisfaga la regla de Leibniz; entonces la función se puede describir como
- ,
para un campo bivector suave único . Por el contrario, dado cualquier campo bivector suave en , la misma fórmula define un corchete simétrico sesgado bilineal que obedece automáticamente a la regla de Leibniz.
Por último, las siguientes condiciones son equivalentes
- satisface la identidad de Jacobi (por lo tanto, es un paréntesis de Poisson)
- satisface (de ahí que sea un bivector de Poisson)
- el mapa es un homomorfismo del álgebra de Lie, es decir, los campos vectoriales hamiltonianos satisfacen
- la gráfica define una estructura de Dirac, es decir, un subconjunto lagrangiano que se cierra debajo del soporte Courant estándar .
Hojas simplécticas
Una variedad de Poisson se divide naturalmente en variedades simplécticas regularmente sumergidas de dimensiones posiblemente diferentes, llamadas sus hojas simplécticas . Estos surgen como las subvariedades integrales máximas de la foliación singular completamente integrable atravesada por los campos vectoriales hamiltonianos.
Rango de una estructura de Poisson
Recuerde que cualquier campo bivector puede considerarse un homomorfismo sesgado . La imagen consiste, por tanto, en los valores de todos los campos vectoriales hamiltonianos evaluados en cada .
El rango de en un punto es el rango del mapeo lineal inducido . Un puntose llama regular para una estructura de Poisson en si y solo si el rango de es constante en un vecindario abierto de ; de lo contrario, se denomina punto singular . Los puntos regulares forman un subespacio denso abierto; Cuándo, es decir, el mapa es de rango constante, la estructura de Poisson se llama regular . Los ejemplos de estructuras de Poisson regulares incluyen estructuras triviales y no degeneradas (ver más abajo).
El caso regular
Para un colector de Poisson regular, la imagen es una distribución regular ; es fácil comprobar que es involutivo, por lo tanto, por el teorema de Frobenius ,admite una partición en hojas. Además, el bivector de Poisson se restringe muy bien a cada hoja, que se convierte, por tanto, en variedades simplécticas.
El caso no regular
Para una variedad de Poisson no regular, la situación es más complicada, ya que la distribución es singular, es decir, los subespacios vectoriales tienen diferentes dimensiones.
Un sub - colector integral para es una subvariedad conectada a una ruta satisfactorio para todos . Subvariedades integrales de son colectores sumergidos de forma automática y regular, y subvariedades integrales máximas de se llaman las hojas de.
Además, cada hoja lleva una forma simpléctica natural determinado por la condición para todos y . Correspondientemente, se habla de las hojas simplécticas de. Además, tanto el espacio de puntos regulares y su complemento están saturados de hojas simplécticas, por lo que las hojas simplécticas pueden ser regulares o singulares.
Teorema de la división de Weinstein
Para mostrar la existencia de hojas simplécticas también en el caso no regular, se puede usar el teorema de división de Weinstein (o teorema de Darboux-Weinstein). [2] Establece que cualquier variedad de Poisson se divide localmente alrededor de un punto como el producto de una variedad simpléctica y una subvariedad de Poisson transversal desapareciendo en . Más precisamente, si, hay coordenadas locales tal que el bivector de Poisson se divide como la suma
Ejemplos de
Estructuras triviales de Poisson
Cada colector lleva la estructura trivial de Poisson, descrito de forma equivalente por el bivector . Cada punto de es por tanto una hoja simpléctica de dimensión cero.
Estructuras de Poisson no generadas
Un campo bivector se llama no degenerado sies un isomorfismo de haz de vectores. Los campos bivectores de Poisson no generados son en realidad lo mismo que las variedades simplécticas .
De hecho, existe una correspondencia biyectiva entre campos bivectores no degenerados y 2 formas no degeneradas , dada por
Estructuras lineales de Poisson
Una estructura de Poisson en un espacio vectorial se llama lineal cuando el corchete de dos funciones lineales sigue siendo lineal. La clase de espacios vectoriales con estructuras lineales de Poisson coincide en realidad con la de las álgebras de Lie (dual de).
De hecho, el dual de cualquier álgebra de Lie de dimensión finita lleva un corchete de Poisson lineal, conocido en la literatura con los nombres de estructura Lie-Poisson, Kirillov-Poisson o KKS ( Kostant - Kirillov - Souriau ):
,
dónde y los derivados se interpretan como elementos del bidual . De manera equivalente, el bivector de Poisson se puede expresar localmente como
Por el contrario, cualquier estructura de Poisson lineal en debe ser de esta forma, es decir, existe una estructura de álgebra de Lie natural inducida en cuyo soporte de Lie-Poisson recupera .
Las hojas simplécticas de la estructura de Lie-Poisson en son las órbitas de la acción conjunta de en .
Otros ejemplos y construcciones
- Cualquier campo bivector constante en un espacio vectorial es automáticamente una estructura de Poisson; de hecho, los tres términos en el Jacobiator son cero, siendo el paréntesis con una función constante.
- Cualquier campo bivector en una variedad bidimensional es automáticamente una estructura de Poisson; Por supuesto, es un campo de 3 vectores, que siempre es cero en la dimensión 2.
- El producto cartesiano de dos colectores de Poisson y es de nuevo una variedad de Poisson.
- Dejar ser una foliación (regular) de dimensión en y una foliación cerrada de dos formas para la que el poder no está desapareciendo en ninguna parte. Esto determina de forma única una estructura de Poisson regular en al exigir que las hojas simplécticas de ser las hojas de equipado con la forma simpléctica inducida .
- Dejar Ser un grupo de Lie que actúa sobre una variedad de Poisson.por difeomorfismos de Poisson. Si la acción es libre y adecuada, la variedad cociente hereda una estructura de Poisson de (es decir, es el único en el que la inmersión es un mapa de Poisson).
Cohomología de Poisson
Los grupos de cohomología de Poisson de una variedad de Poisson son los grupos de cohomología del complejo cocadena [1]
Usando el morfismo , se obtiene un morfismo del complejo de Rham al complejo de Poisson , induciendo un homomorfismo grupal . En el caso no degenerado, esto se convierte en un isomorfismo, de modo que la cohomología de Poisson de una variedad simpléctica recupera completamente su cohomología de Rham .
La cohomología de Poisson es difícil de calcular en general, pero los grupos de bajo grado contienen información geométrica importante sobre la estructura de Poisson:
- es el espacio de las funciones de Casimir , es decir, funciones suaves Poisson-conmutación con todas las demás (o, de manera equivalente, funciones suaves constantes en las hojas simplécticas)
- es el espacio de los campos vectoriales de Poisson modulo campos vectoriales hamiltonianos
- es el espacio de las deformaciones infinitesimales de la estructura de Poisson deformaciones modulo trivial
- es el espacio de las obstrucciones para extender deformaciones infinitesimales a deformaciones reales.
Mapas de Poisson
Un mapeo suave entre las variedades de Poisson se llama Mapa de Poisson si respeta las estructuras de Poisson, es decir, se cumple una de las siguientes condiciones equivalentes (consulte las diversas definiciones de estructuras de Poisson más arriba):
- los soportes de Poisson y satisfacer para cada y funciones suaves
- los campos bivector y están -relacionado, es decir
- los campos vectoriales hamiltonianos asociados a cada función suave están -relacionado, es decir
- el diferencial es un morfismo de Dirac.
Un mapa anti-Poisson satisface condiciones análogas con un signo menos en un lado.
Las variedades de Poisson son objetos de una categoría. , con mapas de Poisson como morfismos. Si un mapa de Poisson es también un difeomorfismo, entonces llamamos un difeomorfismo de Poisson .
Ejemplos de
- Dado el producto colector de Poisson , las proyecciones canónicas , por , son mapas de Poisson.
- El mapeo de inclusión de una hoja simpléctica, o de un subespacio abierto, es un mapa de Poisson.
- Dadas dos álgebras de Lie y , el dual de cualquier homomorfismo de álgebra de Lie induce un mapa de Poisson entre las estructuras lineales de Poisson.
Cabe señalar que la noción de un mapa de Poisson es fundamentalmente diferente de la de un mapa simpléctico . Por ejemplo, con sus estructuras simplécticas estándar, no existen mapas de Poisson, mientras que abundan los mapas simplécticos.
Realizaciones simplécticas
Una realización simpléctica en una variedad de Poisson M consiste en una variedad simpléctica junto con un mapa de Poisson que es una inmersión sobreyectiva. En términos generales, el papel de una realización simpléctica es "desingularizar" una variedad de Poisson complicada (degenerada) pasando a una más grande, pero más fácil (no degenerada).
Nótese que algunos autores definen realizaciones simplécticas sin esta última condición (de modo que, por ejemplo, la inclusión de una hoja simpléctica en una variedad simpléctica es un ejemplo) y llaman realización simpléctica completa dondees una inmersión sobreyectiva. Ejemplos de realizaciones simplécticas (completas) incluyen lo siguiente:
- Para la trivial estructura de Poisson , uno toma el paquete cotangente , con su estructura simpléctica canónica , y la proyección.
- Para una estructura de Poisson no degenerada uno toma sí mismo y la identidad .
- Para la estructura de Lie-Poisson en , uno toma el paquete cotangente de un grupo de mentiras integrando y el mapa dual del diferencial en la identidad de la traducción (izquierda o derecha) .
Una realización simpléctica se llama completo si, para cualquier campo vectorial hamiltoniano completo, el campo vectorial también está completo. Mientras que las realizaciones simplécticas siempre existen para cada variedad de Poisson (hay varias pruebas diferentes disponibles), [2] [3] [4] las completas juegan un papel fundamental en el problema de integrabilidad de las variedades de Poisson (ver más abajo). [5]
Integración de colectores de Poisson
Cualquier colector de Poisson induce una estructura de algebroide de Lie en su paquete cotangente. El mapa de anclaje viene dado por mientras que el soporte de Lie en Se define como
- la foliación simpléctica es la foliación habitual (singular) inducida por el ancla del algebroide de Lie
- las hojas simplécticas son las órbitas del algebroide de Lie
- una estructura de Poisson en es regular precisamente cuando el algebroide de Lie asociado es
- los grupos de cohomología de Poisson coinciden con los grupos de cohomología algebroide de Lie de con coeficientes en la representación trivial.
Es de crucial importancia notar que el algebroide de Lie no siempre es integrable a un grupoide de Lie.
Grupóides simplécticos
A Groupoide simpléctico es unGruppoide junto con una forma simpléctica que también es multiplicativo (es decir, compatible con la estructura grupoide). De manera equivalente, la gráfica dese pide que sea una subvariedad lagrangiana de. [6]
Un teorema fundamental establece que el espacio base de cualquier grupoide simpléctico admite una estructura de Poisson única tal que el mapa fuente y el mapa de destino son, respectivamente, un mapa de Poisson y un mapa anti-Poisson. Además, el algebroid de Lie es isomorfo al algebroide cotangente asociado a la variedad de Poisson . [7] Por el contrario, si el paquete cotangente de una variedad de Poisson es integrable a algún grupo de Lie , luego es automáticamente un grupoide simpléctico. [8]
En consecuencia, el problema de integrabilidad de una variedad de Poisson consiste en encontrar un grupoide simpléctico que integre su algebroide cotangente; cuando esto sucede, decimos que la estructura de Poisson es integrable .
Mientras que cualquier variedad de Poisson admite una integración local (es decir, un grupoide simpléctico donde la multiplicación se define sólo localmente), [7] existen obstrucciones topológicas generales a su integrabilidad, provenientes de la teoría de la integrabilidad para los algebroides de Lie. [9] Usando tales obstrucciones, se puede demostrar que una variedad de Poisson es integrable si y solo si admite una realización simpléctica completa. [5]
Subvariedades
Una subvariedad de Poisson dees un sub-colector sumergido tal que el mapa de inmersión es un mapa de Poisson. De manera equivalente, se pregunta que cada campo vectorial hamiltoniano, por , es tangente a .
Esta definición es muy natural y satisface varias buenas propiedades, por ejemplo, la intersección transversal de dos subvariedades de Poisson es nuevamente una subvariedad de Poisson. Sin embargo, también tiene algunos problemas:
- Las subvariedades de Poisson son raras: por ejemplo, las únicas subvariedades de Poisson de una variedad simpléctica son los conjuntos abiertos;
- la definición no se comporta de manera funcional: si es un mapa de Poisson transversal a una subvariedad de Poisson de , el sub-colector de no es necesariamente Poisson.
Para superar estos problemas, a menudo se utiliza la noción de una transversal de Poisson (originalmente llamada subvariedad cosimpléctica). [2] Esto se puede definir como una subvariedad que es transversal a toda hoja simpléctica y tal que la intersección es una subvariedad simpléctica de . De ello se deduce que cualquier transversal de Poisson hereda una estructura de Poisson canónica de . En el caso de una variedad de Poisson no degenerada (cuya única hoja simpléctica es sí mismo), las transversales de Poisson son lo mismo que las subvariedades simplécticas.
Las clases más generales de subvariedades desempeñan un papel importante en la geometría de Poisson, incluidas las subvariedades de Lie-Dirac, las subvariedades de Poisson-Dirac, las subvariedades coisotrópicas y las subvariedades pre-Poisson. [10]
Ver también
- Colector de Nambu-Poisson
- Grupo de Poisson-Lie
- Supermanifold de Poisson
- Fórmula de cuantificación de Kontsevich
Referencias
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