En geometría , el teorema de Apolonio es un teorema que relaciona la longitud de la mediana de un triángulo con las longitudes de sus lados. Establece que "la suma de los cuadrados de cualesquiera dos lados de cualquier triángulo es igual al doble del cuadrado en la mitad del tercer lado, junto con el doble del cuadrado en la mediana que divide el tercer lado".
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área verde = área roja
Específicamente, en cualquier triángulo ABC , si AD es una mediana, entonces
Es un caso especial del teorema de Stewart . Para un triángulo isósceles con | AB | = | AC | , la mediana AD es perpendicular a BC y el teorema se reduce al teorema de Pitágoras para el triángulo ADB (o triángulo ADC ). Por el hecho de que las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí, el teorema es equivalente a la ley del paralelogramo .
El teorema lleva el nombre del antiguo matemático griego Apolonio de Perga .
Prueba
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El teorema puede demostrarse como un caso especial del teorema de Stewart , o puede demostrarse mediante vectores (véase la ley del paralelogramo ). La siguiente es una prueba independiente que usa la ley de los cosenos. [1]
Supongamos que el triángulo tiene lados a , b , c con una mediana d dibujada en el lado a . Sea m la longitud de los segmentos de a formados por la mediana, entonces m es la mitad de a . Deje que los ángulos formados entre una y d ser θ y θ ' , donde θ incluye b y θ' incluye c . Entonces θ ′ es el suplemento de θ y cos θ ′ = −cos θ . La ley de los cosenos para θ y θ ′ establece que
Suma la primera y la tercera ecuaciones para obtener
según sea necesario.
Referencias
- ^ Godfrey, Charles; Siddons, Arthur Warry (1908). Geometría moderna . Prensa Universitaria. pag. 20 .
enlaces externos
- Teorema de Apolonio en PlanetMath .
- David B. Surowski: Matemáticas avanzadas de secundaria . pag. 27