Serie Appell
En matemáticas, las series de Appell son un conjunto de cuatro series hipergeométricas F 1 , F 2 , F 3 , F 4 de dos variables que fueron introducidas por Paul Appell ( 1880 ) y que generalizan la serie hipergeométrica de Gauss 2 F 1 de una variable. Appell estableció el conjunto de ecuaciones diferenciales parciales de las cuales estas funciones son soluciones, y encontró varias fórmulas de reducción y expresiones de estas series en términos de series hipergeométricas de una variable.
donde está el símbolo de Pochhammer . Para otros valores de x y y la función F 1 puede ser definido por continuación analítica . Se puede demostrar [1] que
Al igual que la serie hipergeométrica de Gauss 2 F 1 , la serie doble de Appell implica relaciones de recurrencia entre funciones contiguas. Por ejemplo, un conjunto básico de tales relaciones para F 1 de Appell viene dado por:
A partir de su definición, se encuentra que F 1 de Appell satisface el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden :
Las cuatro funciones definidas por la serie doble de Appell se pueden representar en términos de integrales dobles que involucran solo funciones elementales ( Gradshteyn & Ryzhik 2015 , §9.184) . Sin embargo, Émile Picard ( 1881 ) descubrió que la F 1 de Appell también se puede escribir como una integral unidimensional de tipo Euler :
Esta representación se puede verificar mediante la expansión de Taylor del integrando, seguida de la integración por términos.