Teoría de la aproximación
En matemáticas , la teoría de la aproximación se ocupa de cómo se pueden aproximar mejor las funciones con funciones más simples y de caracterizar cuantitativamente los errores introducidos por ello. Lo que se entiende por mejor y más sencillo dependerá de la aplicación.
Un tema estrechamente relacionado es la aproximación de funciones mediante series de Fourier generalizadas , es decir, aproximaciones basadas en la suma de una serie de términos basados en polinomios ortogonales .
Un problema de particular interés es el de aproximar una función en una biblioteca matemática de computadora , usando operaciones que se pueden realizar en la computadora o calculadora (por ejemplo, suma y multiplicación), de modo que el resultado sea lo más cercano posible a la función real. Esto generalmente se hace con aproximacionespolinomiales o racionales (proporción de polinomios).
El objetivo es hacer que la aproximación sea lo más cercana posible a la función real, generalmente con una precisión cercana a la de la aritmética de punto flotante de la computadora subyacente . Esto se logra usando un polinomio de alto grado y/o reduciendo el dominio sobre el cual el polinomio tiene que aproximarse a la función. A menudo se puede reducir el dominio mediante el uso de varias fórmulas de suma o escala para la función que se aproxima. Las bibliotecas matemáticas modernas a menudo reducen el dominio en muchos segmentos pequeños y utilizan un polinomio de bajo grado para cada segmento.
Una vez que se eligen el dominio (normalmente un intervalo) y el grado del polinomio, el polinomio en sí se elige de tal manera que se minimice el error en el peor de los casos. Es decir, el objetivo es minimizar el valor máximo de , donde P ( x ) es el polinomio aproximado, f ( x ) es la función real y x varía en el intervalo elegido. Para funciones que se comportan bien, existe un polinomio de grado N que conducirá a una curva de error que oscila hacia adelante y hacia atrás entre y un total de N +2 veces, dando un error en el peor de los casos de . Se ve que existe un polinomio de grado N que puede interpolar N +1 puntos en una curva. El teorema de equioscilación afirma que tal polinomio es siempre óptimo . Es posible crear funciones artificiales f ( x ) para las cuales no existe tal polinomio, pero rara vez ocurren en la práctica.
Por ejemplo, los gráficos que se muestran a la derecha muestran el error al aproximar log(x) y exp(x) para N = 4. Las curvas rojas, para el polinomio óptimo, son de nivel , es decir, oscilan entre y exactamente. En cada caso, el número de extremos es N +2, es decir, 6. Dos de los extremos están en los puntos finales del intervalo, en los bordes izquierdo y derecho de las gráficas.