En el análisis matemático , muchas generalizaciones de las series de Fourier han resultado útiles. Todos ellos son casos especiales de descomposición sobre una base ortonormal de un espacio de producto interno . Aquí consideramos el de las funciones cuadráticas integrables definidas en un intervalo de la línea real , lo cual es importante, entre otros, para la teoría de la interpolación .
Considere un conjunto de funciones integrables al cuadrado con valores en,
que son ortogonales por pares para el producto interior
dónde es una función de peso , yrepresenta conjugación compleja , es decir por .
La serie generalizada de Fourier de un cuadrado integrable función f : [ a , b ] →, con respecto a Φ, es entonces
donde los coeficientes vienen dados por
Si Φ es un conjunto completo, es decir, una base ortogonal del espacio de todas las funciones cuadradas integrables en [ a , b ], en oposición a un conjunto ortogonal más pequeño, la relaciónse convierte en igualdad en el sentido L² , más precisamente módulo(no necesariamente puntual, ni casi en todas partes ).
Los polinomios de Legendre son soluciones al problema de Sturm-Liouville
y debido a la teoría de Sturm-Liouville, estos polinomios son funciones propias del problema y son soluciones ortogonales con respecto al producto interno anterior con peso unitario. Entonces podemos formar una serie de Fourier generalizada (conocida como serie de Fourier-Legendre) que involucre los polinomios de Legendre, y
Como ejemplo, calculemos la serie de Fourier-Legendre para ƒ ( x ) = cos x sobre [−1, 1]. Ahora,
y una serie que incluye estos términos
que difiere de cos x en aproximadamente 0.003, aproximadamente 0. Puede ser ventajoso usar tales series de Fourier-Legendre ya que las funciones propias son todas polinomios y, por lo tanto, las integrales y, por lo tanto, los coeficientes son más fáciles de calcular.
Algunos teoremas sobre los coeficientes c n incluyen:
Si Φ es un conjunto completo,