Mancha de Arago

En óptica , la mancha de Arago , la mancha de Poisson , ^[1]^[2] o la mancha de Fresnel ^[3] es un punto brillante que aparece en el centro de la sombra de un objeto circular debido a la difracción de Fresnel . ^[4]^[5]^[6]^[7] Este lugar jugó un papel importante en el descubrimiento de la naturaleza ondulatoria de la luz y es una forma común de demostrar que la luz se comporta como una onda (por ejemplo, en ejercicios de laboratorio de física de pregrado) .

Experimento de la mancha de Arago. Una fuente puntual ilumina un objeto circular, proyectando una sombra en una pantalla. En el centro de la sombra aparece un punto brillante debido a la difracción , lo que contradice la predicción de la óptica geométrica .

Foto del spot Arago a la sombra de un obstáculo circular de 5,8 mm

Simulación numérica de la intensidad de la luz monocromática de longitud de onda λ = 0,5 µm detrás de un obstáculo circular de radio R = 5 µm = 10λ .

">

Reproducir medios

Formación del spot Arago (seleccione "fuente WebM" para una buena calidad)

Mancha Arago formándose en la sombra

La configuración experimental básica requiere una fuente puntual, como un agujero de alfiler iluminado o un rayo láser divergente . Las dimensiones de la instalación deben cumplir con los requisitos de difracción de Fresnel . Es decir, el número de Fresnel debe satisfacer

{\ Displaystyle F = {\ frac {d ^ {2}} {\ ell \ lambda}} \ gtrsim 1,}

dónde

d

es el diámetro del objeto circular,

ℓ

es la distancia entre el objeto y la pantalla, y

λ es la longitud de onda de la fuente.

Finalmente, el borde del objeto circular debe ser lo suficientemente liso.

Estas condiciones juntas explican por qué no se encuentra el punto brillante en la vida cotidiana. Sin embargo, con las fuentes láser disponibles en la actualidad, no es complicado realizar un experimento de punto Arago. ^[8]

En astronomía , la mancha de Arago también se puede observar en la imagen fuertemente desenfocada de una estrella en un telescopio newtoniano . Allí, la estrella proporciona una fuente puntual casi ideal en el infinito, y el espejo secundario del telescopio constituye el obstáculo circular.

Cuando la luz incide sobre el obstáculo circular, el principio de Huygens dice que cada punto en el plano del obstáculo actúa como una nueva fuente puntual de luz. La luz que proviene de puntos en la circunferencia del obstáculo y se dirige al centro de la sombra recorre exactamente la misma distancia, por lo que toda la luz que pasa cerca del objeto llega a la pantalla en fase e interfiere constructivamente . Esto da como resultado un punto brillante en el centro de la sombra, donde la óptica geométrica y las teorías de partículas de la luz predicen que no debería haber luz en absoluto.

Historia

A principios del siglo XIX, ganó fuerza la idea de que la luz no se propaga simplemente a lo largo de líneas rectas. Thomas Young publicó su experimento de doble rendija en 1807. ^[9] El experimento original de la mancha de Arago se llevó a cabo una década más tarde y fue el experimento decisivo sobre la cuestión de si la luz es una partícula o una onda. Es, pues, un ejemplo de experimentum crucis .

En ese momento, muchos estaban a favor de la teoría corpuscular de la luz de Isaac Newton, entre ellos el teórico Siméon Denis Poisson . ^[10] En 1818, la Academia de Ciencias de Francia lanzó un concurso para explicar las propiedades de la luz, donde Poisson era uno de los miembros del comité de jueces. El ingeniero civil Augustin-Jean Fresnel participó en este concurso presentando una nueva teoría ondulatoria de la luz . ^[11]

Poisson estudió la teoría de Fresnel en detalle y, siendo partidario de la teoría de partículas de la luz, buscó una forma de demostrar que estaba equivocada. Poisson pensó que había encontrado una falla cuando argumentó que una consecuencia de la teoría de Fresnel era que existiría un punto brillante en el eje en la sombra de un obstáculo circular, donde debería haber oscuridad completa según la teoría de partículas de la luz. Dado que la mancha de Arago no se observa fácilmente en situaciones cotidianas, Poisson lo interpretó como un resultado absurdo y que debería refutar la teoría de Fresnel.

Sin embargo, el jefe del comité, Dominique-François-Jean Arago (quien, dicho sea de paso, luego se convirtió en primer ministro de Francia), decidió realizar el experimento con más detalle. Moldeó un disco metálico de 2 mm en una placa de vidrio con cera. ^[12] Logró observar el lugar predicho, lo que convenció a la mayoría de los científicos de la naturaleza ondulatoria de la luz y le dio la victoria a Fresnel. ^[13]

Arago señaló más tarde que el fenómeno (más tarde conocido como "la mancha de Poisson" o la "mancha de Arago") ya había sido observado por Delisle ^[14] y Maraldi ^[15] un siglo antes.

Sólo resultó mucho más tarde (en una de Albert Einstein 's Annus Mirabilis papeles ) que la luz se puede describir igualmente como una partícula ( dualidad onda-partícula de la luz).

Teoría

Notación para calcular la amplitud de onda en el punto P _{1 a} partir de una fuente puntual esférica en P ₀ .

En el corazón de la teoría de ondas de Fresnel está el principio de Huygens-Fresnel , que establece que cada punto no obstruido de un frente de onda se convierte en la fuente de una ondícula esférica secundaria y que la amplitud del campo óptico E en un punto de la pantalla viene dada por superposición de todas esas ondas secundarias teniendo en cuenta sus fases relativas. ^[16] Esto significa que el campo en un punto P ₁ en la pantalla está dado por una integral de superficie:

{\ Displaystyle U (P_ {1}) = {\ frac {Ae ^ {\ mathbf {i} kr_ {0}}} {r_ {0}}} \ int _ {S} {\ frac {e ^ {\ mathbf {i} kr_ {1}}} {r_ {1}}} K (\ chi) \, dS,}

donde el factor de inclinación ${\ Displaystyle K (\ chi)}$ que asegura que las ondas secundarias no se propaguen hacia atrás viene dada por

{\ Displaystyle K (\ chi) = {\ frac {\ mathbf {i}} {2 \ lambda}} (1+ \ cos (\ chi))}

y

A es la amplitud de la onda fuente

{\ textstyle k = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}}

es el número de onda

S es la superficie despejada.

El primer término fuera de la integral representa las oscilaciones de la onda fuente a una distancia r ₀ . De manera similar, el término dentro de la integral representa las oscilaciones de las ondas secundarias a distancias r ₁ .

Para derivar la intensidad detrás del obstáculo circular usando esta integral, se supone que los parámetros experimentales cumplen con los requisitos del régimen de difracción de campo cercano (el tamaño del obstáculo circular es grande en comparación con la longitud de onda y pequeño en comparación con las distancias g = P ₀ C yb = CP ₁ ). Al ir a las coordenadas polares, se obtiene la integral de un objeto circular de radio a (ver, por ejemplo, Born y Wolf ^[17] ):

{\ Displaystyle U (P_ {1}) = - {\ frac {\ mathbf {i}} {\ lambda}} {\ frac {Ae ^ {\ mathbf {i} k (g + b)}} {gb} } 2 \ pi \ int _ {a} ^ {\ infty} e ^ {\ mathbf {i} k {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {1} {g}} + {\ frac {1} {b}} \ right) r ^ {2}} r \, dr.}

La intensidad en el eje en el centro de la sombra de un pequeño obstáculo circular converge a la intensidad sin obstáculos.

Esta integral se puede resolver numéricamente (ver más abajo). Si g es grande y b es pequeño de modo que el ángulo ${\ Displaystyle \ chi}$ no es despreciable, se puede escribir la integral para el caso en el eje (P ₁ está en el centro de la sombra) como (ver ^[18] ):

{\ Displaystyle U (P_ {1}) = {\ frac {Ae ^ {\ mathbf {i} kg}} {g}} {\ frac {b} {\ sqrt {b ^ {2} + a ^ {2 }}}} e ^ {\ mathbf {i} k {\ sqrt {b ^ {2} + a ^ {2}}}}.}

La intensidad de la fuente , que es el cuadrado de la amplitud del campo, es ${\ textstyle I_ {0} = \ left | {\ frac {1} {g}} Ae ^ {\ mathbf {i} kg} \ right | ^ {2}}$ y la intensidad en la pantalla ${\ Displaystyle I = \ left | U (P_ {1}) \ right | ^ {2}}$ . La intensidad en el eje en función de la distancia b viene dada por:

{\ Displaystyle I = {\ frac {b ^ {2}} {b ^ {2} + a ^ {2}}} I_ {0}.}

Esto muestra que la intensidad en el eje en el centro de la sombra tiende a la intensidad de la fuente, como si el objeto circular no estuviera presente en absoluto. Además, esto significa que el punto Arago está presente incluso con unos pocos diámetros de obstáculos detrás del disco.

Cálculo de imágenes de difracción

Para calcular la imagen de difracción completa que es visible en la pantalla hay que considerar la integral de superficie de la sección anterior. Ya no se puede explotar la simetría circular, ya que la línea entre la fuente y un punto arbitrario en la pantalla no pasa por el centro del objeto circular. Con la función de apertura ${\ Displaystyle g (r, \ theta)}$ que es 1 para las partes transparentes del plano del objeto y 0 en caso contrario (es decir, es 0 si la línea directa entre la fuente y el punto en la pantalla pasa a través del objeto circular de bloqueo). La integral que debe resolverse viene dada por:

{\ Displaystyle U (P_ {1}) \ propto \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {\ infty} g (r, \ theta) e ^ {{\ frac {\ mathbf {i} \ pi \ rho ^ {2}} {\ lambda}} \ left ({\ frac {1} {g}} + {\ frac {1} {b}} \ right)} \ rho \, d \ rho \, d \ theta.}

El cálculo numérico de la integral usando la regla trapezoidal o la regla de Simpson no es eficiente y se vuelve numéricamente inestable, especialmente para configuraciones con un gran número de Fresnel . Sin embargo, es posible resolver la parte radial de la integral de modo que solo quede por hacer numéricamente la integración sobre el ángulo de acimut. ^[19] Para un ángulo particular, se debe resolver la integral de línea para el rayo con origen en el punto de intersección de la línea P ₀ P ₁ con el plano circular del objeto. La contribución de un rayo en particular con ángulo acimutal. ${\ Displaystyle \ theta _ {1}}$ y pasar una parte transparente del plano del objeto desde ${\ Displaystyle r = s}$ a ${\ Displaystyle r = t}$ es:

{\ Displaystyle R (\ theta _ {1}) \ propto e ^ {{\ frac {\ pi} {2}} \ mathbf {i} s ^ {2}} - e ^ {{\ frac {\ pi} {2}} \ mathbf {i} t ^ {2}}.}

Entonces, para cada ángulo, uno tiene que calcular el ( los ) punto ( s ) de intersección del rayo con el objeto circular y luego sumar las contribuciones ${\ Displaystyle I (\ theta _ {1})}$ para un cierto número de ángulos entre 0 y ${\ Displaystyle 2 \ pi}$ . Los resultados de dicho cálculo se muestran en las siguientes imágenes.

Las imágenes muestran manchas de Arago simuladas a la sombra de un disco de diámetro variable (4 mm, 2 mm, 1 mm, de izquierda a derecha) a una distancia de 1 m del disco. La fuente puntual tiene una longitud de onda de 633 nm (por ejemplo, láser He-Ne) y está ubicada a 1 m del disco. El ancho de la imagen corresponde a 16 mm.

Aspectos experimentales

Intensidad y tamaño

Para una fuente puntual ideal , la intensidad del punto Arago es igual a la del frente de onda no perturbado . Solo el ancho del pico de intensidad del punto Arago depende de las distancias entre la fuente, el objeto circular y la pantalla, así como la longitud de onda de la fuente y el diámetro del objeto circular. Esto significa que se puede compensar una reducción en la longitud de onda de la fuente aumentando la distancia l entre el objeto circular y la pantalla o reduciendo el diámetro del objeto circular.

La distribución de intensidad lateral en la pantalla tiene, de hecho, la forma de una función de Bessel cero cuadrada del primer tipo cuando está cerca del eje óptico y se utiliza una fuente de onda plana (fuente puntual en el infinito): ^[20]

{\ Displaystyle U (P_ {1}, r) \ propto J_ {0} ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi rd} {\ lambda b}} \ right)}

dónde

r es la distancia del punto P ₁ en la pantalla desde el eje óptico

d es el diámetro del objeto circular

λ es la longitud de onda

b es la distancia entre el objeto circular y la pantalla.

Las siguientes imágenes muestran la distribución de intensidad radial de las imágenes simuladas del punto Arago de arriba:

Las líneas rojas en estos tres gráficos corresponden a las imágenes simuladas de arriba, y las líneas verdes se calcularon aplicando los parámetros correspondientes a la función de Bessel al cuadrado dada anteriormente.

Tamaño de fuente finito y coherencia espacial

La razón principal por la que el punto Arago es difícil de observar en sombras circulares de fuentes de luz convencionales es que tales fuentes de luz son aproximaciones incorrectas de fuentes puntuales. Si la fuente de onda tiene un tamaño finito S, entonces el punto de Arago tendrá una extensión dada por Sb / g , como si el objeto circular actuara como una lente. ^[16] Al mismo tiempo, la intensidad de la mancha Arago se reduce con respecto a la intensidad del frente de onda no perturbado. Definiendo la intensidad relativa ${\ Displaystyle I _ {\ text {rel}}}$ como la intensidad dividida por la intensidad del frente de onda no perturbado, la intensidad relativa para una fuente circular extendida de diámetro w puede expresarse exactamente usando la siguiente ecuación: ^[21]

{\ Displaystyle I _ {\ text {rel}} (w) = J_ {0} ^ {2} \ left ({\ frac {wR \ pi} {g \ lambda}} \ right) + J_ {1} ^ { 2} \ left ({\ frac {wR \ pi} {g \ lambda}} \ right)}

dónde ${\ Displaystyle J_ {0}}$ y ${\ Displaystyle J_ {1}}$ son las funciones de Bessel del primer tipo. R es el radio del disco que proyecta la sombra, ${\ Displaystyle \ lambda}$ la longitud de onda yg la distancia entre la fuente y el disco. Para fuentes grandes se aplica la siguiente aproximación asintótica: ^[21]

{\ Displaystyle I _ {\ text {rel}} (w) \ approx {\ frac {2g \ lambda} {\ pi ^ {2} wR}}}

Desviación de la circularidad

Si la sección transversal del objeto circular se desvía ligeramente de su forma circular (pero todavía tiene un borde afilado en una escala más pequeña), la forma del punto de origen puntual Arago cambia. En particular, si el objeto tiene una sección transversal elipsoidal, la mancha de Arago tiene la forma de una evoluta . ^[22] Tenga en cuenta que este es solo el caso si la fuente está cerca de una fuente puntual ideal. Desde una fuente extendida, la mancha de Arago solo se ve afectada marginalmente, ya que se puede interpretar la mancha de Arago como una función de dispersión de puntos . Por lo tanto, la imagen de la fuente extendida solo se desvanece debido a la convolución con la función de dispersión de puntos, pero no disminuye en toda la intensidad.

La rugosidad de la superficie del objeto circular.

La mancha de Arago es muy sensible a las desviaciones a pequeña escala de la sección transversal circular ideal. Esto significa que una pequeña cantidad de rugosidad en la superficie del objeto circular puede anular completamente el punto brillante. Esto se muestra en los siguientes tres diagramas que son simulaciones del punto Arago desde un disco de 4 mm de diámetro ( g = b = 1 m):

La simulación incluye una ondulación sinusoidal regular de la forma circular de amplitud de 10 μm, 50 μm y 100 μm, respectivamente. Tenga en cuenta que la ondulación del borde de 100 μm elimina casi por completo el punto brillante central.

Este efecto se puede entender mejor utilizando el concepto de zona de Fresnel . El campo transmitido por un segmento radial que proviene de un punto en el borde del obstáculo proporciona una contribución cuya fase está ajustada a la posición del punto del borde con respecto a las zonas de Fresnel. Si la variación en el radio del obstáculo es mucho menor que el ancho de la zona de Fresnel cerca del borde, las contribuciones de los segmentos radiales están aproximadamente en fase e interfieren constructivamente. Sin embargo, si la ondulación de borde aleatoria tiene una amplitud comparable o mayor que el ancho de esa zona de Fresnel adyacente, las contribuciones de los segmentos radiales ya no están en fase y se cancelan entre sí reduciendo la intensidad del punto Arago.

La zona de Fresnel adyacente está dada aproximadamente por: ^[23]

{\ Displaystyle \ Delta r \ approx {\ sqrt {r ^ {2} + \ lambda {\ frac {gb} {g + b}}}} - r.}

La ondulación del borde no debe ser mucho más del 10% de este ancho para ver un punto Arago cercano al ideal. En las simulaciones anteriores con el disco de 4 mm de diámetro, la zona de Fresnel adyacente tiene un ancho de aproximadamente 77 μm.

Mancha de Arago con ondas de materia

En 2009, se demostró el experimento de la mancha de Arago con un haz de expansión supersónico de moléculas de deuterio (un ejemplo de ondas de materia neutra ). ^{[23] Las} partículas materiales que se comportan como ondas se conocen por la mecánica cuántica . La naturaleza ondulatoria de las partículas en realidad se remonta a la hipótesis de De Broglie ^[24] , así como a los experimentos de Davisson y Germer . ^[25] Una mancha Arago de electrones, que también constituyen ondas de materia, se puede observar en microscopios electrónicos de transmisión cuando se examinan estructuras circulares de cierto tamaño.

La observación de una mancha de Arago con moléculas grandes, demostrando así su naturaleza ondulatoria, es un tema de investigación actual. ^[23]

Otras aplicaciones

Además de la demostración del comportamiento de las olas, el spot Arago también tiene algunas otras aplicaciones. Una de las ideas es utilizar el spot Arago como referencia en línea recta en los sistemas de alineación. ^[26] Otro es sondear las aberraciones en los rayos láser utilizando la sensibilidad del punto a las aberraciones del haz . ^[20] Finalmente, el aragoscopio ha sido propuesto como un método para mejorar dramáticamente la resolución limitada por difracción de los telescopios espaciales. ^[27]^[28]

Ver también

Aragoscopio
Disco oculto

Referencias

^ Ley, Jonathan; Rennie, Richard (2015), "Punto de Poisson", Diccionario de Física , Oxford University Press , p. 444, ISBN 978-0198714743, SBN-10: 0198714742
^ Hecht, Eugene; Zajac, Alfred (1974), "10,3 " Difracción, " ", Óptica (1ª ed.), Addison Wesley , p. 374, ISBN 0-201-02835-2
^ "Aunque este fenómeno a menudo se llama punto de Poisson, Poisson probablemente no estaba feliz de haberlo visto porque apoyaba el modelo ondulatorio de la luz. El punto a veces se llama punto de Fresnel porque es una consecuencia directa de su trabajo, y el punto de Arago porque Arago ideó el experimento que confirmó su existencia ". Katz, Debora M., Física para científicos e ingenieros: fundamentos y conexiones, edición avanzada, volumen 2, Cengage Learning, 2015. ISBN 1305537203
^ Pedrotti, Frank L .; Pedrotti, Leno S .; Pedrotti, Leno M. (2007), Introducción a la óptica (3ª ed.), Upper Saddle River, Nueva Jersey: Pearson Education , p. 315, ISBN 978-0-13-149933-1
^ Walker, Jearl (2008), Fundamentos de la física (8ª ed.), John Wiley & Sons , p. 992, ISBN 978-0-470-04472-8
^ Ohanian, Hans (1989), Physics (2ª ed.), WW Norton , pág. 984 , ISBN 0-393-95786-1
^ Hecht, Eugene (2002), Óptica (4ª ed.), Pearson Education, pág. 494, ISBN 0-321-18878-0
^ http://www.princeton.edu/~rvdb/images/Questar/PoissonSpot.html
^ Young, Thomas (1807), Curso de conferencias sobre filosofía natural y artes mecánicas , Londres: Joseph Johnson
^ Newton, Isaac (1704), Opticks: Or, A Treatise of the Reflections, Refractions, Inflexions and Colors of Light , Londres: Royal Society
^ Fresnel, AJ (1868), OEuvres Completes 1 , París: Imprimerie impériale
^ Fresnel 1868 , p. 369
^ Arago (1819). "Rapport fait par M. Arago à l'Académie des Sciences, au nom de la Commission qui avait été chargée d'examiner les Mémoires envoyés au concours pour le prix de la diffraction" [Informe elaborado por el Sr. Arago a la Academia de Ciencias a nombre de la comisión encargada de examinar las memorias presentadas al concurso del premio de difracción.]. Annales de Chimie et de Physique . 2ª serie (en francés). 11 : 5–30. Desde p. 16: "L'un de vos commissaires, M. Poisson, avait déduit des intégrales rapportées par l'auteur, le résultat singulier que le centre de l'ombre d'un écran circulaire opaque devait, lorsque les rayons y pénétraient sous des incidences peu obliques, être aussi éclairé que si l'écran n'existait pas. Cette conséquence a été soumise à l'épreuve d'une expérience directe, et l'observation a parfaitement confirmé le calcul (e). " (Uno de sus comisionados, el Sr. Poisson, había deducido de las integrales [que habían sido] informadas por el autor [es decir, el Sr. Fresnel], el extraño resultado de que el centro de la sombra de una pantalla circular opaca debería - cuando el los rayos [de luz] la penetran [es decir, la sombra] en incidencias ligeramente oblicuas - también se iluminan como si la pantalla no existiera. Este resultado ha sido sometido a la prueba de un experimento directo, y la observación ha confirmado perfectamente el cálculo ( mi).)
^ Delisle, J.-N. (1715). "Sur l'expérience que j'ai rapportée à l'Academie d'un anneau lumineux semblable à celui que l'sobre apperçoit autour de la lune dans les eclipses Totales du soleil" [En la experiencia que me presenté a la Academia acerca de una anillo luminoso similar al que se ve alrededor de la luna durante un eclipse solar total]. Histoire de l'Académie Royale des Sciences ... Avec les Mémoires de Mathématique & de Physique (en francés): 166–169. Delisle menciona que cuando una pequeña bola fue iluminada por la luz del sol, la sombra de la bola contenía anillos brillantes y oscuros alternados concéntricos con el centro de la sombra de la bola.
^ Maraldi, GF (1723). "Diverses expèriences d'optique" [Diversos experimentos ópticos]. Histoire de l'Académie Royale des Sciences ... Avec les Mémoires de Mathématique & de Physique (en francés): 111–143.Desde p. 140: "La lumiere plus grande au milieu des boules plus petites, fait voir qu'elle circule en plus grande abondance & plus facilement autour des petites boules qu'autour des grandes". (Más luz en el medio de las bolas más pequeñas muestra que [es decir, la luz] se propaga con mayor abundancia y más fácilmente alrededor de las bolas pequeñas que alrededor de las grandes). La figura 8 de la Ilustración 6 (siguiente a la pág. 142) muestra la luz en el centro de la sombra de una bola.
^ a b Sommerfeld, Arnold (1978), Vorlesungen über Theoretische Physik: Optik (en alemán), 4 (3.a ed.), Verlag Harri Deutsch, ISBN 3-87144-377-8
^ Nacido, Max; Wolf, Emil (1999), Principios de óptica (séptima, edición ampliada), Cambridge University Press , ISBN 0-521-64222-1
^ Sommerfeld 1978 , p. 186
^ Dauger, DE (noviembre de 1996), "Simulación y estudio de la difracción de Fresnel para aperturas arbitrarias bidimensionales", Computación. Phys. , AIOP, 10 (6): 591–604, Bibcode : 1996ComPh..10..591D , doi : 10.1063 / 1.168584
^ a b Harvey, James E .; Forgham, James L. (1984), "El lugar de Arago: Nueva relevancia para un fenómeno antiguo" , American Journal of Physics , AAPT, 52 (3): 243–247, Bibcode : 1984AmJPh..52..243H , doi : 10.1119 / 1.13681 , archivado desde el original el 23 de febrero de 2013
^ a b Reisinger, T; Leufke, PM; Gleiter, H; Hahn, H (14 de marzo de 2017). "Sobre la intensidad relativa de la mancha de Poisson" . Nueva Revista de Física . 19 (3): 033022. doi : 10.1088 / 1367-2630 / aa5e7f . ISSN 1367-2630 .
^ Coulson, John; Becknell, GG (1922), "Relaciones de difracción recíproca entre placas circulares y elípticas", Phys. Rev. , American Physical Society , 20 (6): 594–600, Bibcode : 1922PhRv ... 20..594C , doi : 10.1103 / PhysRev.20.594
^ a b c Reisinger, Thomas; Patel, A. Amil; Reingruber, Herbert; Fladischer, Katrin; Ernst, Wolfgang E .; Bracco, Gianangelo; Smith, Henry I .; Holst, Bodil (2009), "Mancha de Poisson con moléculas" (PDF) , Phys. Rev. A , American Physical Society, 79 (5): 053823, Bibcode : 2009PhRvA..79e3823R , doi : 10.1103 / PhysRevA.79.053823
^ de Broglie, Louis (1923), "Waves and Quanta", Nature , 112 (2815): 540, Bibcode : 1923Natur.112..540D , doi : 10.1038 / 112540a0
^ Davisson, C .; Germer, L. (1927), "Difracción de electrones por un cristal de níquel", Nature , 119 (2998): 558, Bibcode : 1927Natur.119..558D , doi : 10.1038 / 119558a0
^ Feier y col.
^ "El aragoscopio: óptica de ultra alta resolución a bajo coste" . NASA . Consultado el 9 de febrero de 2017 .
^ "El nuevo concepto de telescopio espacial podría obtener imágenes de objetos con una resolución mucho más alta que el Hubble" . CU más audaz hoy . Consultado el 9 de febrero de 2017 .

[1] Ley, Jonathan; Rennie, Richard (2015), "Punto de Poisson", Diccionario de Física , Oxford University Press , p. 444, ISBN 978-0198714743, SBN-10: 0198714742

[hecht_and_zajac-2] Hecht, Eugene; Zajac, Alfred (1974), "10,3 " Difracción, " ", Óptica (1ª ed.), Addison Wesley , p. 374, ISBN 0-201-02835-2

[3] "Aunque este fenómeno a menudo se llama punto de Poisson, Poisson probablemente no estaba feliz de haberlo visto porque apoyaba el modelo ondulatorio de la luz. El punto a veces se llama punto de Fresnel porque es una consecuencia directa de su trabajo, y el punto de Arago porque Arago ideó el experimento que confirmó su existencia ". Katz, Debora M., Física para científicos e ingenieros: fundamentos y conexiones, edición avanzada, volumen 2, Cengage Learning, 2015. ISBN 1305537203

[pedrotti2007-4] Pedrotti, Frank L .; Pedrotti, Leno S .; Pedrotti, Leno M. (2007), Introducción a la óptica (3ª ed.), Upper Saddle River, Nueva Jersey: Pearson Education , p. 315, ISBN 978-0-13-149933-1

[walker2008-5] Walker, Jearl (2008), Fundamentos de la física (8ª ed.), John Wiley & Sons , p. 992, ISBN 978-0-470-04472-8

[ohanian1989-6] Ohanian, Hans (1989), Physics (2ª ed.), WW Norton , pág. 984 , ISBN 0-393-95786-1

[hecht2002-7] Hecht, Eugene (2002), Óptica (4ª ed.), Pearson Education, pág. 494, ISBN 0-321-18878-0

[8] ttp://www.princeton.edu/~rvdb/images/Questar/PoissonSpot.html

[young1807-9] Young, Thomas (1807), Curso de conferencias sobre filosofía natural y artes mecánicas , Londres: Joseph Johnson

[newton1704-10] Newton, Isaac (1704), Opticks: Or, A Treatise of the Reflections, Refractions, Inflexions and Colors of Light , Londres: Royal Society

[fresnel1868-11] Fresnel, AJ (1868), OEuvres Completes 1 , París: Imprimerie impériale

[fresnel1868_arago-12] Fresnel 1868 , p. 369

[13] Arago (1819). "Rapport fait par M. Arago à l'Académie des Sciences, au nom de la Commission qui avait été chargée d'examiner les Mémoires envoyés au concours pour le prix de la diffraction" [Informe elaborado por el Sr. Arago a la Academia de Ciencias a nombre de la comisión encargada de examinar las memorias presentadas al concurso del premio de difracción.]. Annales de Chimie et de Physique . 2ª serie (en francés). 11 : 5–30. Desde p. 16: "L'un de vos commissaires, M. Poisson, avait déduit des intégrales rapportées par l'auteur, le résultat singulier que le centre de l'ombre d'un écran circulaire opaque devait, lorsque les rayons y pénétraient sous des incidences peu obliques, être aussi éclairé que si l'écran n'existait pas. Cette conséquence a été soumise à l'épreuve d'une expérience directe, et l'observation a parfaitement confirmé le calcul (e). " (Uno de sus comisionados, el Sr. Poisson, había deducido de las integrales [que habían sido] informadas por el autor [es decir, el Sr. Fresnel], el extraño resultado de que el centro de la sombra de una pantalla circular opaca debería - cuando el los rayos [de luz] la penetran [es decir, la sombra] en incidencias ligeramente oblicuas - también se iluminan como si la pantalla no existiera. Este resultado ha sido sometido a la prueba de un experimento directo, y la observación ha confirmado perfectamente el cálculo ( mi).)

[delisle1715-14] Delisle, J.-N. (1715). "Sur l'expérience que j'ai rapportée à l'Academie d'un anneau lumineux semblable à celui que l'sobre apperçoit autour de la lune dans les eclipses Totales du soleil" [En la experiencia que me presenté a la Academia acerca de una anillo luminoso similar al que se ve alrededor de la luna durante un eclipse solar total]. Histoire de l'Académie Royale des Sciences ... Avec les Mémoires de Mathématique & de Physique (en francés): 166–169. Delisle menciona que cuando una pequeña bola fue iluminada por la luz del sol, la sombra de la bola contenía anillos brillantes y oscuros alternados concéntricos con el centro de la sombra de la bola.

[maraldi1723-15] Maraldi, GF (1723). "Diverses expèriences d'optique" [Diversos experimentos ópticos]. Histoire de l'Académie Royale des Sciences ... Avec les Mémoires de Mathématique & de Physique (en francés): 111–143.Desde p. 140: "La lumiere plus grande au milieu des boules plus petites, fait voir qu'elle circule en plus grande abondance & plus facilement autour des petites boules qu'autour des grandes". (Más luz en el medio de las bolas más pequeñas muestra que [es decir, la luz] se propaga con mayor abundancia y más fácilmente alrededor de las bolas pequeñas que alrededor de las grandes). La figura 8 de la Ilustración 6 (siguiente a la pág. 142) muestra la luz en el centro de la sombra de una bola.

[sommerfeld-16] Sommerfeld, Arnold (1978), Vorlesungen über Theoretische Physik: Optik (en alemán), 4 (3.a ed.), Verlag Harri Deutsch, ISBN 3-87144-377-8

[bornwolf-17] Nacido, Max; Wolf, Emil (1999), Principios de óptica (séptima, edición ampliada), Cambridge University Press , ISBN 0-521-64222-1

[sommerfeldp186-18] Sommerfeld 1978 , p. 186

[dauger-19] Dauger, DE (noviembre de 1996), "Simulación y estudio de la difracción de Fresnel para aperturas arbitrarias bidimensionales", Computación. Phys. , AIOP, 10 (6): 591–604, Bibcode : 1996ComPh..10..591D , doi : 10.1063 / 1.168584

[harvey1984-20] Harvey, James E .; Forgham, James L. (1984), "El lugar de Arago: Nueva relevancia para un fenómeno antiguo" , American Journal of Physics , AAPT, 52 (3): 243–247, Bibcode : 1984AmJPh..52..243H , doi : 10.1119 / 1.13681 , archivado desde el original el 23 de febrero de 2013

[:0-21] Reisinger, T; Leufke, PM; Gleiter, H; Hahn, H (14 de marzo de 2017). "Sobre la intensidad relativa de la mancha de Poisson" . Nueva Revista de Física . 19 (3): 033022. doi : 10.1088 / 1367-2630 / aa5e7f . ISSN 1367-2630 .

[coulson1922-22] Coulson, John; Becknell, GG (1922), "Relaciones de difracción recíproca entre placas circulares y elípticas", Phys. Rev. , American Physical Society , 20 (6): 594–600, Bibcode : 1922PhRv ... 20..594C , doi : 10.1103 / PhysRev.20.594

[reisinger2009-23] Reisinger, Thomas; Patel, A. Amil; Reingruber, Herbert; Fladischer, Katrin; Ernst, Wolfgang E .; Bracco, Gianangelo; Smith, Henry I .; Holst, Bodil (2009), "Mancha de Poisson con moléculas" (PDF) , Phys. Rev. A , American Physical Society, 79 (5): 053823, Bibcode : 2009PhRvA..79e3823R , doi : 10.1103 / PhysRevA.79.053823

[debroglie-24] Broglie, Louis (1923), "Waves and Quanta", Nature , 112 (2815): 540, Bibcode : 1923Natur.112..540D , doi : 10.1038 / 112540a0

[davisson-25] Davisson, C .; Germer, L. (1927), "Difracción de electrones por un cristal de níquel", Nature , 119 (2998): 558, Bibcode : 1927Natur.119..558D , doi : 10.1038 / 119558a0

[26] Feier y col.

[27] "El aragoscopio: óptica de ultra alta resolución a bajo coste" . NASA . Consultado el 9 de febrero de 2017 .

[28] "El nuevo concepto de telescopio espacial podría obtener imágenes de objetos con una resolución mucho más alta que el Hubble" . CU más audaz hoy . Consultado el 9 de febrero de 2017 .

[1]