En la teoría de la probabilidad , las leyes de arcoseno son una colección de resultados para caminatas aleatorias unidimensionales y movimiento browniano (el proceso de Wiener ). El más conocido de ellos se atribuye a Paul Lévy ( 1939 ).
Las tres leyes relacionan las propiedades de la trayectoria del proceso de Wiener con la distribución del arcoseno . Una variable aleatoria X en [0,1] tiene una distribución de arcoseno si
Declaración de las leyes
A lo largo de suponemos que ( W t ) 0 ≤ t ≤ 1 ∈ R es el unidimensional proceso de Wiener en [0,1]. La invariancia de escala asegura que los resultados se puedan generalizar a los procesos de Wiener ejecutados para t ∈ [0, ∞).
Primera ley de arcoseno (de Lévy)
La primera ley de arcoseno establece que la proporción de tiempo en que el proceso de Wiener unidimensional es positivo sigue una distribución de arcoseno. Dejar
sea la medida del conjunto de tiempos en [0,1] en los que el proceso de Wiener es positivo. Luego es arcoseno distribuido.
Segunda ley de arcoseno
La segunda ley de arcoseno describe la distribución de la última vez que el proceso de Wiener cambia de signo. Dejar
será el momento del último cero. Entonces L es arcoseno distribuido.
Tercera ley de arcoseno
La tercera ley del arcoseno establece que el tiempo en el que un proceso de Wiener alcanza su máximo es el arcoseno distribuido.
El enunciado de la ley se basa en el hecho de que el proceso de Wiener tiene casi con seguridad máximos únicos, [1] y así podemos definir la variable aleatoria M, que es el momento en el que se alcanzan los máximos. es decir, el único M tal que
Entonces M es el arcoseno distribuido.
Equivalencia de la segunda y tercera leyes
Definición del proceso máximo en ejecución M t del proceso Wiener
entonces la ley de X t = M t - W t tiene la misma ley que un proceso de Wiener reflejado | B t | (donde B t es un proceso de Wiener independiente de W t ). [1]
Dado que los ceros de B y | B | coinciden, el último cero de X tiene la misma distribución que L , el último cero del proceso de Wiener. El último cero de X ocurre exactamente cuando W alcanza su máximo. [1] De ello se deduce que la segunda y tercera leyes son equivalentes.
Notas
Referencias
- Lévy, Paul (1939), "Sur certains processus stochastiques homogènes" , Compositio Mathematica , 7 : 283–339, ISSN 0010-437X , MR 0000919
- Morters, Peter y Peres, Yuval (2010). Movimiento browniano . 30 . Prensa de la Universidad de Cambridge.
- Rogozin, BA (2001) [1994], "Ley de arcoseno" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press