Conjunto aritmético

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En lógica matemática , un conjunto aritmético (o conjunto aritmético ) es un conjunto de números naturales que se pueden definir mediante una fórmula de la aritmética de Peano de primer orden . Los conjuntos aritméticos se clasifican por la jerarquía aritmética .

La definición se puede extender a un conjunto A contable arbitrario (por ejemplo, el conjunto de n- tuplas de números enteros , el conjunto de números racionales , el conjunto de fórmulas en algún lenguaje formal , etc.) usando números de Gödel para representar elementos del conjunto . y declarar que un subconjunto de A es aritmético si el conjunto de los números de Gödel correspondientes es aritmético.

Una función se llama aritméticamente definible si la gráfica de es un conjunto aritmético.${\displaystyle f:\subseteq \mathbb {N} ^{k}\to \mathbb {N} }$${\ estilo de visualización f}$

Un número real se llama aritmético si el conjunto de todos los números racionales más pequeños es aritmético. Un número complejo se llama aritmético si sus partes real e imaginaria son aritméticas.

Un conjunto X de números naturales es aritméticamente o definible aritméticamente si existe una fórmula φ( n ) en el lenguaje de la aritmética de Peano tal que cada número n está en X si y solo si φ( n ) se cumple en el modelo estándar de aritmética. De manera similar, una relación k -aria es aritmética si existe una fórmula tal que se cumpla para todas las k -tuplas de números naturales. ${\displaystyle R(n_{1},\ldots,n_{k})}$${\ estilo de visualización \ psi (n_ {1}, \ ldots, n_ {k})}$${\displaystyle R(n_{1},\ldots,n_{k})\iff \psi (n_{1},\ldots,n_{k})}$${\displaystyle (n_{1},\ldots,n_{k})}$

Una función finita sobre los números naturales se llama aritmética si su gráfica es una relación aritmética binaria.

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