Combinatoria infinita
En matemáticas, la combinatoria infinita , o teoría de conjuntos combinatoria , es una extensión de las ideas en combinatoria a conjuntos infinitos . Algunas de las cosas estudiadas incluyen gráficos y árboles continuos , extensiones del teorema de Ramsey y el axioma de Martin . Los desarrollos recientes se refieren a la combinatoria del continuo [1] y la combinatoria en sucesores de cardenales singulares. [2]
Escribe κ, λ para ordinales, m para un número cardinal y n para un número natural. Erdős & Rado (1956) introdujeron la notación
como una forma abreviada de decir que cada partición del conjunto [κ] n de subconjuntos de n -elementos en m piezas tiene un conjunto homogéneo de tipo de orden λ. Un conjunto homogéneo es en este caso un subconjunto de κ tal que cada subconjunto de n elementos está en el mismo elemento de la partición. Cuando m es 2, a menudo se omite.
Asumiendo el axioma de elección , no hay ordinales κ con κ→(ω) ω , por lo que n generalmente se toma como finito. Una extensión donde casi se permite que n sea infinita es la notación
que es una forma abreviada de decir que cada partición del conjunto de subconjuntos finitos de κ en m piezas tiene un subconjunto de tipo de orden λ tal que para cualquier n finito , todos los subconjuntos de tamaño n están en el mismo elemento de la partición. Cuando m es 2, a menudo se omite.
que es una forma abreviada de decir que cada coloración del conjunto [κ] n de n -elementos subconjuntos de κ con 2 colores tiene un subconjunto de tipo de orden λ tal que todos los elementos de [λ] n tienen el primer color, o un subconjunto de tipo de orden μ tal que todos los elementos de [μ] n tienen el segundo color.