En la teoría de números , la conjetura de Artin sobre las raíces primitivas establece que un número entero a dado que no es ni un cuadrado perfecto ni −1 es una raíz primitiva módulo infinitamente muchos primos p . La conjetura también atribuye una densidad asintótica a estos números primos. Esta densidad conjetural es igual a la constante de Artin oa un múltiplo racional de la misma.
La conjetura fue hecha por Emil Artin a Helmut Hasse el 27 de septiembre de 1927, según el diario de este último. La conjetura aún no está resuelta a partir de 2022. De hecho, no hay un valor único de a para el que se demuestre la conjetura de Artin.
Sea a un número entero que no es un cuadrado perfecto y no −1. Escribe a = a 0 b 2 con a 0 sin cuadrados . Denote por S ( a ) el conjunto de números primos p tales que a es una raíz primitiva módulo p . Entonces la conjetura establece
Existen fórmulas de productos conjeturales similares [1] para la densidad cuando a no satisface las condiciones anteriores. En estos casos, la densidad conjetural es siempre un múltiplo racional de C Artin .
Por ejemplo, tome a = 2. La conjetura afirma que el conjunto de primos p para los cuales 2 es una raíz primitiva tiene la densidad C Artin anterior . El conjunto de tales primos es (secuencia A001122 en la OEIS )
Tiene 38 elementos menores que 500 y hay 95 primos menores que 500. La razón (que conjeturalmente tiende a C Artin ) es 38/95 = 2/5 = 0.4.