Lema de Artin-Rees

---

En matemáticas , el lema de Artin-Rees es un resultado básico sobre módulos sobre un anillo de Noether , junto con resultados como el teorema de la base de Hilbert . Fue probado en la década de 1950 en trabajos independientes de los matemáticos Emil Artin y David Rees ; ^{[1] [2]} Oscar Zariski conocía un caso especial antes de su trabajo.

Una consecuencia del lema es el teorema de la intersección de Krull . El resultado también se usa para probar la propiedad de exactitud de la terminación . ^[3] El lema también juega un papel clave en el estudio de las gavillas ℓ-ádicas .

Sea I un ideal en un anillo noetheriano R ; sea M un módulo R generado finitamente y sea N un submódulo de M . Entonces existe un entero k  ≥ 1 tal que, para n  ≥  k ,

El lema se sigue inmediatamente del hecho de que R es noetheriano una vez establecidas las nociones y notaciones necesarias. ^[4]

Para cualquier anillo R y un I ideal en R , establecemos ( B para expansión). Decimos que una secuencia decreciente de submódulos es una filtración I si ; además, es estable si para n suficientemente grande . Si a M se le da una filtración I , establecemos ; es un módulo calificado más .${\displaystyle B_{I}R=\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty}I^{n}}$${\displaystyle M=M_{0}\supset M_{1}\supset M_{2}\supset \cdots}$${\displaystyle IM_{n}\subconjunto M_{n+1}}$${\displaystyle IM_{n}=M_{n+1}}$${\displaystyle B_{I}M=\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }M_{n}}$${\displaystyle B_{I}R}$

Ahora, sea M un módulo R con la filtración I por módulos R generados finitamente . Hacemos una observación${\displaystyle M_{i}}$

---