En álgebra abstracta , una terminación es cualquiera de varios functores relacionados en anillos y módulos que dan como resultado anillos y módulos topológicos completos . La finalización es similar a la localización , y juntas se encuentran entre las herramientas más básicas para analizar anillos conmutativos . Los anillos conmutativos completos tienen una estructura más simple que los generales, y el lema de Hensel se aplica a ellos. En geometría algebraica , la finalización de un anillo de funciones R en un espacio X se concentra en una vecindad formalde un punto de X : heurísticamente, este es un vecindario tan pequeño que todas las series de Taylor centradas en el punto son convergentes. Una terminación algebraica se construye de manera análoga a la compleción de un espacio métrico con secuencias de Cauchy , y está de acuerdo con ella en caso de que R tenga una métrica dada por un valor absoluto no arquimediano .
Construcción general
Supongamos que E es un grupo abeliano con una filtración descendente
de subgrupos. Luego se define la terminación (con respecto a la filtración) como el límite inverso :
Este es de nuevo un grupo abeliano. Por lo general, E es un grupo abeliano aditivo . Si E tiene una estructura algebraica adicional compatible con la filtración, por ejemplo, E es un anillo filtrado , un módulo filtrado o un espacio vectorial filtrado , entonces su finalización es nuevamente un objeto con la misma estructura que está completo en la topología determinada por la filtración. . Esta construcción puede aplicarse tanto a anillos conmutativos como no conmutativos . Como era de esperar, cuando la intersección de laigual a cero, esto produce un anillo topológico completo .
Topología de Krull
En álgebra conmutativa , la filtración sobre un anillo conmutativo R por los poderes de una adecuada ideales I determina la topología de Krull (después de Wolfgang Krull ) o I topología -adic en R . El caso de un ideal máximo Es especialmente importante, por ejemplo, el distinguido ideal máximo de un anillo de valoración . La base de los vecindarios abiertos de 0 en R viene dada por las potencias I n , que están anidadas y forman una filtración descendente en R :
(Las vecindades abiertas de cualquier r ∈ R están dadas por clases laterales r + I n .) La terminación es el límite inverso de los anillos de factores ,
pronunciado "sombrero RI". El núcleo del mapa canónica π del anillo para su terminación es la intersección de las potencias de I . Por tanto, π es inyectivo si y sólo si esta intersección se reduce al elemento cero del anillo; según el teorema de la intersección de Krull , este es el caso de cualquier anillo noetheriano conmutativo que sea un dominio integral o un anillo local .
Existe una topología relacionada en los módulos R , también llamada topología Krull o I - adic . Una base de vecindades abiertas de un módulo M viene dada por los conjuntos de la forma
La finalización de un módulo R M es el límite inverso de los cocientes
Este procedimiento convierte cualquier módulo sobre R en un módulo topológico completo sobre.
Ejemplos de
- El anillo de los enteros p -ádicos se obtiene completando el anillo de enteros en el ideal ( p ).
- Sea R = K [ x 1 , ..., x n ] el anillo polinomial en n variables sobre un campo K yser el ideal máximo generado por las variables. Entonces la finalizaciónes el anillo K [[ x 1 , ..., x n ]] de series formales en n variables de más de K .
- Dado un anillo noetheriano y un ideal la - finalización ácida de es una imagen de un anillo formal en serie de poder, específicamente, la imagen de la sobreyección [1]
- El kernel es el ideal
Las terminaciones también se pueden utilizar para analizar la estructura local de singularidades de un esquema . Por ejemplo, los esquemas afines asociados ay la curva del plano cúbico nodal tienen singularidades de aspecto similar en el origen al ver sus gráficos (ambos parecen un signo más). Observe que en el segundo caso, cualquier vecindad de Zariski del origen sigue siendo una curva irreducible. Si usamos terminaciones, entonces estamos viendo un vecindario "lo suficientemente pequeño" donde el nodo tiene dos componentes. Tomando las localizaciones de estos anillos a lo largo del ideal y completando da y respectivamente, donde es la raíz cuadrada formal de en Más explícitamente, la serie de potencias:
Dado que ambos anillos están dados por la intersección de dos ideales generados por un polinomio homogéneo de grado 1, podemos ver algebraicamente que las singularidades "parecen" iguales. Esto se debe a que dicho esquema es la unión de dos subespacios lineales no iguales del plano afín.
Propiedades
1. La terminación es una operación functorial: un mapa continuo f : R → S de anillos topológicos da lugar a un mapa de sus terminaciones,
Por otra parte, si M y N son dos módulos en el mismo topológica anillo R y F : M → N es un mapa de módulo continua entonces f se extiende de forma única el mapa de las terminaciones:
dónde son módulos sobre
2. La realización de un anillo noetheriano R es un módulo plano sobre R .
3. La finalización de un módulo M generado de forma finita sobre un anillo noetheriano R se puede obtener mediante la extensión de escalares :
Junto con la propiedad anterior, esto implica que el functor de finalización en módulos R generados finitamente es exacto : conserva secuencias breves y exactas . En particular, tomar cocientes de anillos conmuta con finalización, lo que significa que para cualquier cociente R -álgebra, hay un isomorfismo
4. Teorema de la estructura de Cohen (caso de características ecuatorianas). Sea R un anillo conmutativo noetheriano local completo con ideal máximoy campo residuo K . Si R contiene un campo, entonces
para algunos n y algunos ideales I (Eisenbud, Teorema 7.7).
Ver también
- Esquema formal
- Entero profinito
- Campo localmente compacto
- Anillo Zariski
- Topología lineal
- Anillo cuasi sin mezclar
Referencias
- ^ "Proyecto de pilas - Etiqueta 0316" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 14 de enero de 2017 .
- David Eisenbud , álgebra conmutativa. Con miras a la geometría algebraica . Textos de posgrado en matemáticas , 150. Springer-Verlag, Nueva York, 1995. xvi + 785 págs. ISBN 0-387-94268-8 ; ISBN 0-387-94269-6 SEÑOR1322960
- Fujiwara, K .; Gabber, O .; Kato, F .: " Sobre las terminaciones de Hausdorff de anillos conmutativos en geometría rígida ". Journal of Algebra , 322 (2011), 293–321.