En matemáticas , específicamente en álgebra abstracta , un dominio integral es un anillo conmutativo distinto de cero en el que el producto de dos elementos distintos de cero es distinto de cero. [1] [2] Los dominios integrales son generalizaciones del anillo de números enteros y proporcionan un escenario natural para estudiar la divisibilidad . En un dominio de integridad, cada elemento distinto de cero una tiene la propiedad de cancelación , es decir, si un ≠ 0 , una igualdad ab = ac implica b = c .
El "dominio integral" se define casi universalmente como antes, pero hay algunas variaciones. Este artículo sigue la convención de que los anillos tienen una identidad multiplicativa , generalmente denotada como 1, pero algunos autores no siguen esto, al no requerir que los dominios integrales tengan una identidad multiplicativa. [3] [4] A veces se admiten dominios integrales no conmutativos. [5] Este artículo, sin embargo, sigue la convención mucho más habitual de reservar el término "dominio integral" para el caso conmutativo y usar " dominio " para el caso general, incluidos los anillos no conmutativos.
Un dominio integral es un anillo conmutativo distinto de cero en el que el producto de dos elementos distintos de cero es distinto de cero. Equivalentemente:
Dada elementos un y b de R , se dice que un divide b , o que una es un divisor de b , o que b es un múltiplo de una , si existe un elemento x en R tal que ax = b .
Las unidades de R son los elementos que dividen a 1; Estas son precisamente los elementos invertibles en R . Las unidades dividen todos los demás elementos.
Si a divide a b y b divide a , entonces a y b son elementos asociados o asociados . [9] De manera equivalente, una y b son asociados si un = UB por alguna unidad u .