En matemáticas , la noción de divisor surgió originalmente dentro del contexto de la aritmética de números enteros. Con el desarrollo de los anillos abstractos , de los cuales los números enteros son el arquetipo , la noción original de divisor encontró una extensión natural.
La divisibilidad es un concepto útil para el análisis de la estructura de anillos conmutativos debido a su relación con la estructura ideal de dichos anillos.
Definición
Deje que R sea un anillo, [1] y dejar un y b ser elementos de R . Si existe un elemento x en R con ax = b , se dice que a es un divisor izquierdo de b y que b es un múltiplo derecho de a . [2] De manera similar, si existe un elemento y en R con ya = b , se dice que a es un divisor derecho de b y que b es un múltiplo izquierdo de a . Se dice que a es un divisor de dos lados de b si es tanto un divisor izquierdo como un divisor derecho de b ; la x y y anteriormente no están obligados a ser iguales.
Cuando R es conmutativo, las nociones de divisor izquierdo, divisor derecho y divisor bilateral coinciden, por lo que se dice simplemente que a es un divisor de b , o que b es un múltiplo de a , y se escribe. Elementos a y b de un dominio de integridad son asociados si ambos y . La relación asociada es una relación de equivalencia en R , por lo que divide R en clases de equivalencia disjuntas .
Nota: Aunque estas definiciones tienen sentido en cualquier magma , se utilizan principalmente cuando este magma es el monoide multiplicativo de un anillo.
Propiedades
Declaraciones sobre divisibilidad en un anillo conmutativo puede traducirse en declaraciones sobre los principales ideales . Por ejemplo,
- Uno tiene si y solo si .
- Elementos a y b son asociados si y sólo si.
- Un elemento U es una unidad si y sólo si u es un divisor de todos los elementos de R .
- Un elemento u es una unidad si y solo si.
- Si por alguna unidad u , entonces un y b son asociados. Si R es un dominio integral , entonces lo contrario es cierto.
- Sea R un dominio integral. Si los elementos de R están totalmente ordenados por divisibilidad, entonces R se llama anillo de valoración .
En lo anterior, denota el ideal principal de generado por el elemento .
Cero como divisor y cero divisores
- Algunos autores requieren una para ser distinto de cero en la definición de divisor, pero esto hace que algunas de las propiedades anteriores a fallar.
- Si uno interpreta la definición de divisor literalmente, cada a es un divisor de 0, ya que se puede tomar x = 0 . Debido a esto, es tradicional para abusar de la terminología al hacer una excepción para los divisores de cero: uno llama a un elemento de una en un anillo conmutativo un divisor de cero si existe un nulo x que tal ax = 0 . [3]
Ver también
Notas
Referencias
- Bourbaki, N. (1989) [1970], Álgebra I, Capítulos 1-3 , Springer-Verlag , ISBN 9783540642435
Este artículo incorpora material del artículo de Citizendium " Divisibilidad (teoría del anillo) ", que está bajo la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported pero no bajo la GFDL .