En el campo de las matemáticas llamado álgebra abstracta , un álgebra de división es, en términos generales, un álgebra sobre un campo en el que la división , excepto por cero, siempre es posible.
Formalmente, comenzamos con un álgebra D distinta de cero sobre un campo . Llamamos a D un álgebra de división si para cualquier elemento a en D y cualquier elemento b distinto de cero en D existe precisamente un elemento x en D con a = bx y precisamente un elemento y en D tal que a = yb .
Para álgebras asociativas , la definición se puede simplificar de la siguiente manera: un álgebra asociativa distinta de cero sobre un campo es un álgebra de división si y solo si tiene un elemento de identidad multiplicativo 1 y cada elemento distinto de cero a tiene un inverso multiplicativo (es decir, un elemento x con ax = xa = 1 ).
Los ejemplos más conocidos de álgebras de división asociativas son las reales de dimensión finita (es decir, álgebras sobre el campo R de números reales , que son de dimensión finita como un espacio vectorial sobre los reales). El teorema de Frobenius establece que , hasta el isomorfismo , existen tres álgebras de este tipo: los reales mismos (dimensión 1), el campo de los números complejos (dimensión 2) y los cuaterniones (dimensión 4).
El pequeño teorema de Wedderburn establece que si D es un álgebra de división finita, entonces D es un campo finito . [1]
Sobre un campo K algebraicamente cerrado (por ejemplo, los números complejos C ), no hay álgebras de división asociativas de dimensión finita, excepto K. [2]