Ultralímite

Para conocer el límite directo de una secuencia de ultrapoderes, consulte Ultraproducto .

En matemáticas , un ultralímite es una construcción geométrica que asigna a una secuencia de espacios métricos X _n un espacio métrico limitante. La noción de ultralímite captura el comportamiento limitante de las configuraciones finitas en los espacios X _ny utiliza un ultrafiltro para evitar el proceso de pasar repetidamente a subsecuencias para asegurar la convergencia. Un ultralímite es una generalización de la noción de convergencia de espacios métricos de Gromov-Hausdorff .

Ultrafiltros

Un ultrafiltro ω en el conjunto de números naturales ℕ es un conjunto de subconjuntos no vacíos de ℕ (cuya función de inclusión puede considerarse una medida) que está cerrado bajo una intersección finita, cerrado hacia arriba, y que, dado cualquier subconjunto X de ℕ , contiene o bien X o ℕ ∖ X . Un ultrafiltro ω sobre ℕ no es principal si no contiene un conjunto finito.

Límite de una secuencia de puntos con respecto a un ultrafiltro

Sea ω un ultrafiltro no principal activado . Si es una secuencia de puntos en un espacio métrico ( X , d ) y x ∈ X , el punto x se llama ω - límite de x _n , denotado , si para cada tenemos:${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle x=\lim _{\omega }x_{n}}$${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle \{n:d(x_{n},x)\leq \epsilon \}\in \omega .}$

No es difícil ver lo siguiente:

• Si existe un límite ω de una secuencia de puntos, es único.
• Si en el sentido estándar, . (Para que esta propiedad se mantenga, es crucial que el ultrafiltro no sea principal).${\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$${\displaystyle x=\lim _{\omega }x_{n}}$

Un hecho básico importante ^[1] establece que, si ( X , d ) es compacto y ω es un ultrafiltro no principal activado , el límite ω de cualquier secuencia de puntos en X existe (y es necesariamente único).${\displaystyle \mathbb {N} }$

En particular, cualquier secuencia acotada de números reales tiene un límite ω bien definido (ya que los intervalos cerrados son compactos).${\displaystyle \mathbb {R} }$

Ultralímite de espacios métricos con puntos base especificados

Sea ω un ultrafiltro no principal activado . Sea ( X _n , d _n ) una secuencia de espacios métricos con puntos base especificados p _n ∈ X _n .${\displaystyle \mathbb {N} }$

Digamos que una sucesión , donde x _n ∈ X _n , es admisible , si la sucesión de números reales ( d _n ( x _n , p _n )) _n está acotada, es decir, si existe un número real positivo C tal eso . Denotemos el conjunto de todas las secuencias admisibles por .${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle d_{n}(x_{n},p_{n})\leq C}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Es fácil ver a partir de la desigualdad del triángulo que para dos sucesiones admisibles cualesquiera y la sucesión ( d _n ( x _n , y _n )) _n está acotada y, por lo tanto, existe un límite ω . Definamos una relación en el conjunto de todas las secuencias admisibles como sigue. Porque tenemos siempre que sea ​​fácil demostrar que hay una relación de equivalencia en${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle {\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ):=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n})}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \mathbf {x} \sim \mathbf {y} }$${\displaystyle {\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0.}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$

El ultralímite con respecto a ω de la secuencia ( X _n , d _n , p _n ) es un espacio métrico definido como sigue. ^[2]${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })}$

Como conjunto, tenemos .${\displaystyle X_{\infty }={\mathcal {A}}/{\sim }}$

Para dos clases de equivalencia de secuencias admisibles y tenemos${\displaystyle \sim }$${\displaystyle [\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]}$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle d_{\infty }([\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]):={\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n}).}$

No es difícil ver que está bien definido y que es una métrica en el set .${\displaystyle d_{\infty }}$${\displaystyle X_{\infty }}$

Denotar .${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$

En puntos de base en el caso de espacios delimitados uniformemente

Suponga que ( X _n , d _n ) es una secuencia de espacios métricos de diámetro acotado uniformemente, es decir, existe un número real C > 0 tal que diam ( X _n ) ≤ C para cada . Entonces, para cualquier elección p _n de puntos base en X _n, toda secuencia es admisible. Por lo tanto, en esta situación, la elección de los puntos base no tiene que especificarse al definir un ultralímite, y el ultralímite depende solo de ( X _n , d _n ) y de ω${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (x_{n})_{n},x_{n}\in X_{n}}$${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })}$pero no depende de la elección de una secuencia de puntos base . En este caso se escribe .${\displaystyle p_{n}\in X_{n}.}$${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$

Propiedades básicas de los ultralímites

1. Si ( X _n , d _n ) son espacios métricos geodésicos, entonces también es un espacio métrico geodésico. ^[1]${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$
2. Si ( X _n , d _n ) son espacios métricos completos, entonces también es un espacio métrico completo. ^{[3] [4]}${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$

En realidad, por construcción, el espacio límite siempre está completo, incluso cuando ( X _n , d _n ) es una secuencia repetida de un espacio ( X , d ) que no está completo. ^[5]

1. Si ( X _n , d _n ) son espacios métricos compactos que convergen a un espacio métrico compacto ( X , d ) en el sentido de Gromov-Hausdorff (esto implica automáticamente que los espacios ( X _n , d _n ) tienen un diámetro acotado uniformemente), entonces el ultralímite es isométrico a ( X , d ).${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$
2. Suponga que ( X _n , d _n ) son espacios métricos propios y que son puntos base tales que la secuencia puntiaguda ( X _n , d _n , p _n ) converge a un espacio métrico propio ( X , d ) en el Gromov-Hausdorff sentido. Entonces el ultralímite es isométrico a ( X , d ). ^[1]${\displaystyle p_{n}\in X_{n}}$${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$
3. Sea κ ≤0 y sea ( X _n , d _n ) una secuencia de espacios métricos CAT ( κ ) . Entonces el ultralímite también es un espacio CAT ( κ ). ^[1]${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$
4. Sea ( X _n , d _n ) una secuencia de espacios métricos CAT ( κ n ) donde Entonces el ultralímite es árbol real . ^[1]${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\kappa _{n}=-\infty .}$${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$

Conos asintóticos

Una clase importante de ultralímites son los llamados conos asintóticos de espacios métricos. Sea ( X , d ) un espacio métrico, sea ω un ultrafiltro no principal activado y sea p _n  ∈  X una secuencia de puntos base. Entonces, el ω –ultralímite de la secuencia se llama cono asintótico de X con respecto a ω y y se denota . A menudo se considera que la secuencia del punto base es constante, p _n = p para algunos p ∈ X${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle (X,{\frac {d}{n}},p_{n})}$${\displaystyle (p_{n})_{n}\,}$${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d,(p_{n})_{n})\,}$; en este caso, el cono asintótico no depende de la elección de p ∈ X y se denota por o simplemente .${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d)\,}$${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$

La noción de un cono asintótico juega un papel importante en la teoría de grupos geométricos, ya que los conos asintóticos (o, más precisamente, sus tipos topológicos y tipos bi-Lipschitz ) proporcionan invariantes cuasi-isométricas de espacios métricos en general y de grupos generados finitamente en particular. ^{[6] Los} conos asintóticos también resultan ser una herramienta útil en el estudio de grupos relativamente hiperbólicos y sus generalizaciones. ^[7]

Ejemplos de

1. Sea ( X , d ) un espacio métrico compacto y ponga ( X _n , d _n ) = ( X , d ) para cada . Entonces el ultralímite es isométrico a ( X , d ).${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$
2. Sea ( X , d _X ) e ( Y , d _Y ) dos espacios métricos compactos distintos y sea ( X _n , d _n ) una secuencia de espacios métricos tal que para cada n ( X _n , d _n ) = ( X , d _X ) o ( X _n , d _n ) = ( Y , d _Y ). Deja y . Por tanto, A ₁ , A ₂ son disjuntos y${\displaystyle A_{1}=\{n|(X_{n},d_{n})=(X,d_{X})\}\,}$${\displaystyle A_{2}=\{n|(X_{n},d_{n})=(Y,d_{Y})\}\,}$${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}=\mathbb {N} .}$ Por lo tanto, uno de A ₁ , A ₂ tiene ω -medida 1 y el otro tiene ω -medida 0. Por lo tanto, es isométrico a ( X , d _X ) si ω ( A ₁ ) = 1 y es isométrico a ( Y , d _Y ) si ω ( A ₂ ) = 1. Esto muestra que el ultralímite puede depender de la elección de un ultrafiltro ω .${\displaystyle \lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$${\displaystyle \lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$
3. Sea ( M , g ) un conectado compacto variedad de Riemann de dimensión m , donde g es una métrica de Riemann en M . Sea d la métrica de M correspondiente ag , de modo que ( M , d ) es un espacio métrico geodésico . Elegir un punto base p ∈ M . Entonces el ultralímite (e incluso el límite ordinario de Gromov-Hausdorff ) es isométrico al espacio tangente T _p M de M${\displaystyle \lim _{\omega }(M,nd,p)}$ en p con la función de distancia en T _p M dada por el producto interno g (p) . Por lo tanto, el ultralímite es isométrico al espacio euclidiano con la métrica euclidiana estándar . ^[8]${\displaystyle \lim _{\omega }(M,nd,p)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$
4. Sea el espacio euclidiano estándar m -dimensional con la métrica euclidiana estándar. Entonces el cono asintótico es isométrico a .${\displaystyle (\mathbb {R} ^{m},d)}$${\displaystyle Cone_{\omega }(\mathbb {R} ^{m},d)}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{m},d)}$
5. Sea el enrejado entero bidimensional donde la distancia entre dos puntos del enrejado viene dada por la longitud del camino de borde más corto entre ellos en la cuadrícula. Entonces el cono asintótico es isométrico hasta donde está la métrica del taxi (o métrica L ¹ ) .${\displaystyle (\mathbb {Z} ^{2},d)}$${\displaystyle Cone_{\omega }(\mathbb {Z} ^{2},d)}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{1})}$${\displaystyle d_{1}\,}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
6. Sea ( X , d ) un espacio métrico geodésico hiperbólico δ para algún δ ≥0. Entonces el cono asintótico es un árbol real . ^{[1] [9]}${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$
7. Sea ( X , d ) un espacio métrico de diámetro finito. Entonces el cono asintótico es un solo punto.${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$
8. Sea ( X , d ) un espacio métrico CAT (0) . Entonces el cono asintótico también es un espacio CAT (0). ^[1]${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$

Notas al pie

1. M. Kapovich B. Leeb. Sobre conos asintóticos y clases de cuasi-isometría de grupos fundamentales de 3 variedades , análisis geométrico y funcional , vol. 5 (1995), núm. 3, págs. 582–603
2. John Roe. Conferencias sobre geometría gruesa. Sociedad Americana de Matemáticas , 2003. ISBN  978-0-8218-3332-2 ; Definición 7.19, pág. 107.
3. L.Van den Dries, AJWilkie, Sobre el teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinómico y lógica elemental . Journal of Algebra , vol. 89 (1984), págs. 349-374.
4. John Roe. Conferencias sobre geometría gruesa. Sociedad Americana de Matemáticas , 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2 ; Proposición 7.20, pág. 108. 
5. Bridson, Haefliger "Espacios métricos de curvatura no positiva" Lema 5.53
6. John Roe. Conferencias sobre geometría gruesa. Sociedad Americana de Matemáticas , 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2 
7. Cornelia Druţu y Mark Sapir (con un apéndice de Denis Osin y Mark Sapir), espacios escalonados por árboles y conos asintóticos de grupos. Topología , Volumen 44 (2005), no. 5, págs. 959-1058.
8. Yu. Burago, M. Gromov y G. Perel'man. AD Aleksandrov espacios con curvaturas delimitadas debajo (en ruso), Uspekhi Matematicheskih Nauk vol. 47 (1992), págs. 3–51; traducido al: Russian Math. Encuestas vol. 47, no. 2 (1992), págs. 1-58
9. John Roe. Conferencias sobre geometría gruesa. Sociedad Americana de Matemáticas , 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2 ; Ejemplo 7.30, p. 118. 

Referencias básicas

• John Roe. Conferencias sobre geometría gruesa. Sociedad Americana de Matemáticas , 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2 ; Ch. 7. 
• L.Van den Dries, AJWilkie, Sobre el teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial y lógica elemental . Journal of Algebra , vol. 89 (1984), págs. 349-374.
• M. Kapovich B. Leeb. Sobre conos asintóticos y clases de cuasi-isometría de grupos fundamentales de 3 variedades , análisis geométrico y funcional , vol. 5 (1995), núm. 3, págs. 582–603
• M. Kapovich. Colectores hiperbólicos y grupos discretos. Birkhäuser, 2000. ISBN 978-0-8176-3904-4 ; Ch. 9. 
• Cornelia Druţu y Mark Sapir (con un apéndice de Denis Osin y Mark Sapir), espacios escalonados de árboles y conos asintóticos de grupos. Topología , Volumen 44 (2005), no. 5, págs. 959-1058.
• M. Gromov. Estructuras métricas para espacios riemannianos y no riemannianos. Progreso en Matemáticas vol. 152, Birkhäuser, 1999. ISBN 0-8176-3898-9 ; Ch. 3. 
• B. Kleiner y B. Leeb, Rigidez de cuasi-isometrías para espacios simétricos y edificios euclidianos. Publicaciones Mathématiques de L'IHÉS . Volumen 86, Número 1, diciembre de 1997, págs. 115–197.

Ver también

• Ultrafiltro
• Teoría de grupos geométricos
• Convergencia Gromov-Hausdorff