En matemáticas , un espacio , dondees un número real, es un tipo específico de espacio métrico . Intuitivamente, triángulos en unel espacio es "más delgado" que los "triángulos modelo" correspondientes en un espacio estándar de curvatura constante . en un espacio, la curvatura está delimitada desde arriba por . Un caso especial notable es; completo Los espacios se conocen como " espacios de Hadamard " en honor al matemático francés Jacques Hadamard .
Originalmente, Aleksandrov llamó a estos espacios “dominio". La terminologiafue acuñado por Mikhail Gromov en 1987 y es un acrónimo de Élie Cartan , Aleksandr Danilovich Aleksandrov y Victor Andreevich Toponogov (aunque Toponogov nunca exploró la curvatura delimitada arriba en las publicaciones).
Definiciones
Por un número real , dejar denotar la superficie única completa simplemente conectada ( variedad de Riemannian bidimensional real ) con curvatura constante. Denotamos porel diámetro de, cual es Si y por .
Dejar ser un espacio métrico geodésico , es decir, un espacio métrico para el cual cada dos puntosse puede unir mediante un segmento geodésico, una curva continua parametrizada de longitud de arco , cuya longitud
es precisamente . Dejar ser un triangulo en con segmentos geodésicos como lados. se dice que satisface el desigualdad si hay un triángulo de comparación en el espacio modelo , con lados de la misma longitud que los lados de , de modo que las distancias entre puntos en son menores o iguales a las distancias entre los puntos correspondientes en .
El espacio métrico geodésico se dice que es un espacio si cada triángulo geodésico en con perímetro menor que satisface el desigualdad. Un espacio métrico (no necesariamente geodésico) se dice que es un espacio con curvatura si cada punto de tiene un convexo geodésico barrio . Un espacio con curvaturase puede decir que tiene una curvatura no positiva .
Ejemplos de
- Alguna espacio también es un espacio para todos . De hecho, ocurre lo contrario: si es un espacio para todos , entonces es un espacio.
- La -espacio euclidiano dimensional con su métrica habitual es un espacio. De manera más general, cualquier espacio de producto interno real (no necesariamente completo) es unespacio; por el contrario, si un espacio vectorial normalizado real es un espacio para algo real , entonces es un espacio de producto interno.
- La -espacio hiperbólico dimensional con su métrica habitual es un espacio, y por lo tanto un espacio también.
- La -esfera de unidad dimensional es un espacio.
- De manera más general, el espacio estándar es un espacio. Entonces, por ejemplo, independientemente de la dimensión, la esfera de radio (y curvatura constante ) es un espacio. Tenga en cuenta que el diámetro de la esfera es (medido en la superficie de la esfera) no (medido pasando por el centro de la esfera).
- El avión pinchado no es un espacio ya que no es geodésicamente convexo (por ejemplo, los puntos y no se puede unir por una geodésica en con longitud de arco 2), pero cada punto de tiene un vecindario geodésicamente convexo, por lo que es un espacio de curvatura .
- El subespacio cerrado de dada por
- equipado con la métrica de longitud inducida no es un espacio para cualquier .
- Cualquier producto de espacios es . (Esto no es válido para argumentos negativos).
Espacios de Hadamard
Como caso especial, un espacio CAT (0) completo también se conoce como espacio Hadamard ; esto es por analogía con la situación de las variedades de Hadamard . Un espacio de Hadamard es contráctil (tiene el tipo de homotopía de un solo punto) y, entre dos puntos cualesquiera de un espacio de Hadamard, hay un segmento geodésico único que los conecta (de hecho, ambas propiedades también son válidas para CAT en general, posiblemente incompleto). (0) espacios). Más importante aún, las funciones de distancia en los espacios de Hadamard son convexas : sison dos geodésicas en X definidas en el mismo intervalo de tiempo I , entonces la función dada por
es convexo en t .
Propiedades de espacios
Dejar ser un espacio. Entonces se mantienen las siguientes propiedades:
- Dados dos puntos cualesquiera (con Si ), hay un segmento geodésico único que se une a ; además, este segmento varía continuamente en función de sus puntos finales.
- Cada geodésica local en con longitud como máximo es una geodésica.
- La - bolas en de radio menor que son (geodésicamente) convexas.
- La -bolas en de radio menor que son contráctiles.
- Los puntos medios aproximados están cerca de los puntos medios en el siguiente sentido: para cada y cada existe un tal que, si es el punto medio de un segmento geodésico de a con y
- luego .
Superficies de curvatura no positiva
En una región donde la curvatura de la superficie satisface K ≤ 0 , los triángulos geodésicos satisfacen las desigualdades CAT (0) de la geometría de comparación , estudiadas por Cartan , Alexandrov y Toponogov , y consideradas posteriormente desde un punto de vista diferente por Bruhat y Tits ; Gracias a la visión de Gromov , esta caracterización de la curvatura no positiva en términos del espacio métrico subyacente ha tenido un profundo impacto en la geometría moderna y, en particular, en la teoría de grupos geométricos . Muchos resultados conocidos por las superficies lisas y sus geodésicas, como el método de Birkhoff de construir geodésicas mediante su proceso de acortamiento de curvas o el teorema de van Mangoldt y Hadamard de que una superficie simplemente conectada de curvatura no positiva es homeomórfica al plano, son igualmente válidos en esto. entorno más general.
Desigualdad de comparación de Alexandrov
La forma más simple de la desigualdad de comparación, probada por primera vez para superficies por Alexandrov alrededor de 1940, establece que
La distancia entre un vértice de un triángulo geodésico y el punto medio del lado opuesto es siempre menor que la distancia correspondiente en el triángulo de comparación en el plano con las mismas longitudes de lado.
La desigualdad se deriva del hecho de que si c ( t ) describe una geodésica parametrizada por arclength y a es un punto fijo, entonces
- f ( t ) = d ( a , c ( t )) 2 - t 2
es una función convexa , es decir
Tomando coordenadas polares geodésicas con origen en a de modo que ‖ c ( t ) ‖ = r ( t ) , la convexidad es equivalente a
Cambiando a las coordenadas normales u , v en c ( t ) , esta desigualdad se convierte en
- u 2 + H −1 H r v 2 ≥ 1 ,
donde ( u , v ) corresponde al vector unitario ċ ( t ) . Esto se sigue de la desigualdad H r ≥ H , una consecuencia de la no negatividad de la derivada de Wronskian de H y r de la teoría de Sturm-Liouville . [1]
Ver también
- Teorema de Cartan-Hadamard
Referencias
- ^ Berger 2004 ; Jost, Jürgen (1997), Curvatura no positiva: aspectos geométricos y analíticos , Conferencias en Matemáticas, ETH Zurich, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-5736-9
- Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton. "Geometría de Alexandrov, Capítulo 7" (PDF) . Consultado el 7 de abril de 2011 . CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton. "Invitación a la geometría de Alexandrov: espacios CAT [0]". arXiv : 1701.03483 [ math.DG ].
- Ballmann, Werner (1995). Conferencias sobre espacios de curvatura no positiva . Seminario DMV 25. Basilea: Birkhäuser Verlag. págs. viii + 112. ISBN 3-7643-5242-6. Señor 1377265 .
- Bridson, Martin R .; Haefliger, André (1999). Espacios métricos de curvatura no positiva . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas] 319. Berlín: Springer-Verlag. págs. xxii + 643. ISBN 3-540-64324-9. Señor 1744486 . CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- Gromov, Mikhail (1987). "Grupos hiperbólicos". Ensayos en teoría de grupos . Matemáticas. Sci. Res. Inst. Publ. 8. Nueva York: Springer. págs. 75–263. Señor 0919829 .
- Hindawi, Mohamad A. (2005). Invariantes asintóticos de variedades de Hadamard (PDF) . Universidad de Pennsylvania: tesis doctoral.