En la teoría de la probabilidad , el teorema de Moivre-Laplace , que es un caso especial del teorema del límite central , establece que la distribución normal puede usarse como una aproximación a la distribución binomial bajo ciertas condiciones. En particular, el teorema muestra que la función de masa de probabilidad del número aleatorio de "éxitos" observados en una serie de ensayos de Bernoulli independientes , cada uno con probabilidad de éxito (una distribución binomial con ensayos), converge a la función de densidad de probabilidad de la distribución normal con media y desviación estándar , como crece grande, asumiendo no es o .
Dentro de un sistema cuyos contenedores se llenan de acuerdo con la
distribución binomial (como
la "
máquina de frijoles "
de Galton , que se muestra aquí), dado un número suficiente de intentos (aquí las filas de pines, cada una de las cuales hace que un "frijol" caído caiga hacia la izquierda o la derecha), una forma que representa la distribución de probabilidad de
k éxitos en
n ensayos (ver la parte inferior de la Fig.7) coincide aproximadamente con la distribución gaussiana con la media
np y la varianza
np (1−
p ), asumiendo que los ensayos son independientes y exitosos ocurrir con probabilidad
p .
Considere lanzar un conjunto de
n monedas una gran cantidad de veces y contar el número de "caras" que resultan cada vez. El número posible de caras en cada lanzamiento,
k , va de 0
an a lo largo del eje horizontal, mientras que el eje vertical representa la frecuencia relativa de aparición del resultado
k caras. La altura de cada punto es, por tanto, la probabilidad de observar
k caras al lanzar
n monedas (una
distribución binomial basada en
n intentos). De acuerdo con el teorema de Moivre-Laplace, a medida que
n crece, la forma de la distribución discreta converge a la curva gaussiana continua de la
distribución normal .
El teorema apareció en la segunda edición de The Doctrine of Chances de Abraham de Moivre , publicada en 1738. Aunque de Moivre no usó el término "ensayos de Bernoulli", escribió sobre la distribución de probabilidad del número de veces que aparecen "cabezas" cuando se lanza una moneda 3600 veces. [1]
Ésta es una derivación de la función gaussiana particular utilizada en la distribución normal.
A medida que n crece, para k en la vecindad de np podemos aproximar [2] [3]
en el sentido de que la razón del lado izquierdo al lado derecho converge a 1 cuando n → ∞.
Prueba
El teorema se puede enunciar de manera más rigurosa de la siguiente manera: , con una variable aleatoria distribuida binomialmente, se acerca a la normal estándar como , con la razón de la masa de probabilidad de a la densidad normal límite que es 1. Esto se puede mostrar para un punto finito y distinto de cero arbitrario . En la curva sin escala para, este sería un punto dada por
Por ejemplo, con a las 3, permanece 3 desviaciones estándar de la media en la curva sin escala.
La distribución normal con media y desviación estándar está definido por la ecuación diferencial (DE)
- con condición inicial establecida por el axioma de probabilidad .
El límite de distribución binomial se acerca a la normal si el binomio satisface esta DE. Como el binomio es discreto, la ecuación comienza como una ecuación en diferencias cuyo límite se transforma en una DE. Las ecuaciones en diferencias usan la derivada discreta ,, el cambio para el tamaño de paso 1. Como , la derivada discreta se convierte en la derivada continua . Por lo tanto, la prueba solo debe mostrar que, para la distribución binomial sin escala,
- como .
El resultado requerido se puede mostrar directamente:
El último es válido porque el término domina tanto el denominador como el numerador como .
Como toma solo valores integrales, la constante está sujeto a un error de redondeo. Sin embargo, el máximo de este error,, es un valor que se desvanece. [4]
Prueba alternativa
La demostración consiste en transformar el lado izquierdo (en el enunciado del teorema) al lado derecho mediante tres aproximaciones.
Primero, de acuerdo con la fórmula de Stirling , el factorial de un gran número n se puede reemplazar con la aproximación
Por lo tanto
A continuación, la aproximación se utiliza para hacer coincidir la raíz anterior con la raíz deseada en el lado derecho.
Finalmente, la expresión se reescribe como exponencial y se usa la aproximación de la serie de Taylor para ln (1 + x):
Luego
Cada ""en el argumento anterior hay un enunciado de que dos cantidades son asintóticamente equivalentes cuando n aumenta, en el mismo sentido que en el enunciado original del teorema, es decir, que la razón de cada par de cantidades se acerca a 1 cuando n → ∞.