La seguridad asintótica (a veces también conocida como renormalizabilidad no perturbativa ) es un concepto en la teoría cuántica de campos que tiene como objetivo encontrar una teoría cuántica consistente y predictiva del campo gravitacional . Su ingrediente clave es un punto fijo no trivial del flujo del grupo de renormalización de la teoría que controla el comportamiento de las constantes de acoplamiento en el régimen ultravioleta (UV) y protege las cantidades físicas de las divergencias. Aunque originalmente propuesto por Steven Weinberg para encontrar una teoría de la gravedad cuántica , la idea de un punto fijo no trivial que proporcione una posible terminación UVse puede aplicar también a otras teorías de campo, en particular a las perturbadoras no renormalizables . En este sentido, es similar a la trivialidad cuántica .
La esencia de la seguridad asintótica es la observación de que los puntos fijos del grupo de renormalización no trivial se pueden utilizar para generalizar el procedimiento de renormalización perturbativa . En una teoría asintóticamente segura, los acoplamientos no necesitan ser pequeños o tender a cero en el límite de alta energía, sino que tienden a valores finitos: se acercan a un punto fijo UV no trivial . La ejecución de las constantes de acoplamiento, es decir, su dependencia de escala descrita por el grupo de renormalización (RG), es por tanto especial en su límite UV en el sentido de que todas sus combinaciones adimensionales permanecen finitas. Esto es suficiente para evitar divergencias no físicas, por ejemplo, en las amplitudes de dispersión . El requisito de un punto fijo UV restringe la forma de la acción desnuda y los valores de las constantes de acoplamiento desnudas, que se convierten en predicciones del programa de seguridad asintótica en lugar de entradas.
En cuanto a la gravedad, el procedimiento estándar de renormalización perturbativa falla ya que la constante de Newton , el parámetro de expansión relevante, tiene una dimensión de masa negativa que hace que la relatividad general sea perturbativamente no renormalizable. Esto ha impulsado la búsqueda de marcos no perturbadores que describan la gravedad cuántica, incluida la seguridad asintótica que, a diferencia de otros enfoques, se caracteriza por el uso de métodos de teoría cuántica de campos, sin depender de técnicas perturbativas. En la actualidad, existe una evidencia acumulada de un punto fijo adecuado para la seguridad asintótica, mientras que aún falta una prueba rigurosa de su existencia.
Motivación
La gravedad, en el nivel clásico, es descrita por las ecuaciones de campo de la relatividad general de Einstein,. Estas ecuaciones combinan la geometría del espacio-tiempo codificada en la métrica con el contenido de materia comprendido en el tensor de energía-momento . La naturaleza cuántica de la materia ha sido probada experimentalmente, por ejemplo, la electrodinámica cuántica es ahora una de las teorías de la física confirmadas con mayor precisión. Por esta razón, la cuantificación de la gravedad también parece plausible. Desafortunadamente, la cuantificación no se puede realizar de la manera estándar (renormalización perturbativa): una simple consideración de conteo de potencia ya indica la no renormalización perturbativa ya que la dimensión de masa de la constante de Newton es. El problema ocurre de la siguiente manera. Según el punto de vista tradicional, la renormalización se implementa mediante la introducción de contraterminos que deben cancelar las expresiones divergentes que aparecen en integrales de bucle . Sin embargo, aplicando este método a la gravedad, los contratérminos necesarios para eliminar todas las divergencias proliferan hasta un número infinito. Como esto conduce inevitablemente a un número infinito de parámetros libres que se medirán en experimentos, es poco probable que el programa tenga poder predictivo más allá de su uso como teoría de baja energía efectiva .
Resulta que las primeras divergencias en la cuantificación de la relatividad general que no pueden ser absorbidas en contraterminos de manera consistente (es decir, sin la necesidad de introducir nuevos parámetros) aparecen ya en el nivel de un bucle en presencia de campos de materia. [1] A nivel de dos bucles, las divergencias problemáticas surgen incluso en la gravedad pura. [2] Con el fin de superar esta dificultad conceptual, se requirió el desarrollo de técnicas no perturbativas, proporcionando varias teorías candidatas de la gravedad cuántica . Durante mucho tiempo, la opinión predominante ha sido que el concepto mismo de la teoría cuántica de campos, aunque notablemente exitoso en el caso de las otras interacciones fundamentales, está condenado al fracaso de la gravedad. Por el contrario, la idea de seguridad asintótica conserva los campos cuánticos como escenario teórico y, en cambio, abandona solo el programa tradicional de renormalización perturbativa.
Historia de la seguridad asintótica
Después de darse cuenta de la perturbativa no renormalizabilidad de la gravedad, los físicos intentaron emplear técnicas alternativas para curar el problema de la divergencia, por ejemplo, la reanimación o teorías extendidas con campos de materia y simetrías adecuados, todos los cuales tienen sus propios inconvenientes. En 1976, Steven Weinberg propuso una versión generalizada de la condición de renormalización, basada en un punto fijo no trivial del flujo de gravedad del grupo de renormalización subyacente (RG). [3] Esto se llamó seguridad asintótica. [4] [5] La idea de una terminación UV por medio de un punto fijo no trivial de los grupos de renormalización había sido propuesta anteriormente por Kenneth G. Wilson y Giorgio Parisi en la teoría del campo escalar [6] [7] (ver también Trivialidad cuántica ). La aplicabilidad a teorías perturbativamente no renormalizables se demostró por primera vez explícitamente para el modelo sigma no lineal [8] y para una variante del modelo Gross-Neveu . [9]
En cuanto a la gravedad, los primeros estudios sobre este nuevo concepto se realizaron en dimensiones del espacio-tiempo a finales de los setenta. Exactamente en dos dimensiones existe una teoría de la gravedad pura que es renormalizable según el antiguo punto de vista. (Para representar la acción de Einstein-Hilbert adimensional, constante de Newton debe tener una dimensión de masa cero.) Para pequeños pero finitos La teoría de la perturbación todavía es aplicable, y se puede expandir la función beta (-función) que describe la ejecución del grupo de renormalización de la constante de Newton como una serie de potencias en . De hecho, con este espíritu fue posible demostrar que muestra un punto fijo no trivial. [4]
Sin embargo, no estaba claro cómo hacer una continuación de a dimensiones ya que los cálculos se basaron en la pequeñez del parámetro de expansión . Los métodos computacionales para un tratamiento no perturbativo no estaban disponibles en ese momento. Por esta razón, la idea de la seguridad asintótica en la gravedad cuántica se dejó de lado durante algunos años. Solo a principios de los 90, aspectos de La gravedad dimensional ha sido revisada en diversas obras, pero aún no se continúa con la dimensión a cuatro.
En cuanto a los cálculos más allá de la teoría de la perturbación, la situación mejoró con la llegada de nuevos métodos de grupo de renormalización funcional , en particular la llamada acción promedio efectiva (una versión dependiente de la escala de la acción efectiva ). Introducido en 1993 por Christof Wetterich y Tim R Morris para teorías escalares, [10] [11] y por Martin Reuter y Christof Wetterich para teorías de gauge generales (en el espacio plano euclidiano), [12] es similar a una acción wilsoniana ( grosera energía libre granulada ) [6] y aunque se argumenta que difiere en un nivel más profundo, [13] de hecho está relacionado por una transformada de Legendre. [11] La dependencia de la escala de corte de esta función se rige por una ecuación de flujo funcional que, a diferencia de los intentos anteriores, también se puede aplicar fácilmente en presencia de simetrías de calibre locales.
En 1996, Martin Reuter construyó una acción promedio efectiva similar y la ecuación de flujo asociada para el campo gravitacional. [14] Cumple con el requisito de independencia de fondo , uno de los principios fundamentales de la gravedad cuántica. Este trabajo puede considerarse un avance esencial en los estudios relacionados con la seguridad asintótica sobre la gravedad cuántica, ya que proporciona la posibilidad de cálculos no perturbativos para dimensiones espaciotemporales arbitrarias. Se demostró que al menos para el truncamiento de Einstein-Hilbert , el ansatz más simple para la acción promedio efectiva, de hecho está presente un punto fijo no trivial.
Estos resultados marcan el punto de partida para muchos cálculos posteriores. Dado que en el trabajo pionero de Martin Reuter no estaba claro en qué medida los hallazgos dependían del truncamiento considerado por ansatz, el siguiente paso obvio consistió en ampliar el truncamiento. Este proceso fue iniciado por Roberto Percacci y colaboradores, comenzando con la inclusión de campos de la materia. [15] Hasta el presente, muchas obras diferentes de una comunidad en continuo crecimiento, que incluyen, por ejemplo,- y los truncamientos al cuadrado del tensor de Weyl - han confirmado de forma independiente que el escenario de seguridad asintótica es realmente posible: la existencia de un punto fijo no trivial se mostró dentro de cada truncamiento estudiado hasta ahora. [16] Aunque todavía carece de una prueba final, existe una creciente evidencia de que el programa de seguridad asintótica puede conducir en última instancia a una teoría cuántica de la gravedad consistente y predictiva dentro del marco general de la teoría cuántica de campos .
Seguridad asintótica: la idea principal
Espacio teórico
El programa de seguridad asintótica adopta un moderno punto de vista wilsoniano sobre la teoría cuántica de campos. Aquí, los datos de entrada básicos que deben fijarse al principio son, en primer lugar, los tipos de campos cuánticos que llevan los grados de libertad de la teoría y, en segundo lugar, las simetrías subyacentes . Para cualquier teoría considerada, estos datos determinan la etapa en la que se desarrolla la dinámica de grupos de renormalización, el llamado espacio teórico. Consta de todos los posibles funcionales de acción en función de los campos seleccionados y respetando los principios de simetría prescritos. Cada punto de este espacio teórico representa, por tanto, una acción posible. A menudo, uno puede pensar en el espacio como abarcado por todos los monomios de campo adecuados. En este sentido cualquier acción en el espacio teórico es una combinación lineal de monomios de campo, donde los coeficientes correspondientes son las constantes de acoplamiento ,. (Aquí se supone que todos los acoplamientos son adimensionales. Los acoplamientos siempre pueden hacerse adimensionales mediante la multiplicación con una potencia adecuada de la escala RG).
Flujo del grupo de renormalización
El grupo de renormalización (RG) describe el cambio de un sistema físico debido al suavizado o promediado de detalles microscópicos cuando se pasa a una resolución más baja. Esto pone en juego una noción de dependencia de escala para las funciones de acción de interés. Las transformaciones infinitesimales de RG mapean acciones con otras cercanas, dando lugar a un campo vectorial en el espacio teórico. La dependencia de escala de una acción se codifica en una "ejecución" de las constantes de acoplamiento que parametrizan esta acción,, con la escala RG . Esto da lugar a una trayectoria en teoría espacial (trayectoria RG), que describe la evolución de una acción funcional con respecto a la escala. Cuál de todas las trayectorias posibles se realiza en la naturaleza debe determinarse mediante mediciones.
Tomando el límite UV
La construcción de una teoría cuántica de campos equivale a encontrar una trayectoria RG que se extiende infinitamente en el sentido de que la acción funcional descrita por se comporta bien para todos los valores del parámetro de escala de momento , incluido el límite de infrarrojos y el límite ultravioleta (UV) . La seguridad asintótica es una forma de abordar este último límite. Su requisito fundamental es la existencia de un punto fijo del flujo RG. Por definición, este es un puntoen el espacio teórico donde se detiene la ejecución de todos los acoplamientos, o, en otras palabras, un cero de todas las funciones beta : para todos . Además, ese punto fijo debe tener al menos una dirección atractiva para los rayos UV. Esto asegura que hay una o más trayectorias RG que se encuentran en el punto fijo para aumentar la escala. El conjunto de todos los puntos en el espacio teórico que son "arrastrados" hacia el punto fijo UV al ir a escalas mayores se conoce como superficie crítica UV . Por lo tanto, la superficie crítica de UV consta de todas aquellas trayectorias que están a salvo de las divergencias de UV en el sentido de que todos los acoplamientos se acercan a valores de punto fijo finitos como. La hipótesis clave que subyace a la seguridad asintótica es que solo las trayectorias que se ejecutan completamente dentro de la superficie crítica UV de un punto fijo apropiado pueden extenderse infinitamente y, por lo tanto, definir una teoría de campo cuántica fundamental. Es obvio que tales trayectorias se comportan bien en el límite UV ya que la existencia de un punto fijo les permite "permanecer en un punto" durante un "tiempo" RG infinitamente largo.
Con respecto al punto fijo, las direcciones atractivas a los rayos UV se denominan relevantes, las repulsivas a los rayos UV irrelevantes, ya que los campos de escala correspondientes aumentan y disminuyen, respectivamente, cuando se baja la escala. Por lo tanto, la dimensionalidad de la superficie crítica UV es igual al número de acoplamientos relevantes. Una teoría asintóticamente segura es, por tanto, cuanto más predictiva es la menor dimensionalidad de la correspondiente superficie crítica UV.
Por ejemplo, si la superficie crítica UV tiene la dimensión finita es suficiente realizar solo mediciones con el fin de identificar de forma única la trayectoria RG de la naturaleza. Una vez elSe miden los acoplamientos relevantes, el requisito de seguridad asintótica fija todos los demás acoplamientos, ya que estos últimos deben ajustarse de tal manera que la trayectoria RG se encuentre dentro de la superficie crítica UV. En este espíritu, la teoría es altamente predictiva, ya que un número finito de mediciones fija un número infinito de parámetros.
A diferencia de otros enfoques, aquí no se necesita como entrada una simple acción que debería promoverse a una teoría cuántica. Es el espacio teórico y las ecuaciones de flujo RG las que determinan los posibles puntos fijos UV. Dado que tal punto fijo, a su vez, corresponde a una acción pura, se puede considerar la acción pura como una predicción en el programa de seguridad asintótica. Esto puede pensarse como una estrategia de búsqueda sistemática entre teorías que ya son "cuánticas" que identifica las "islas" de teorías físicamente aceptables en el "mar" de las inaceptables plagadas de singularidades de corta distancia.
Puntos fijos gaussianos y no gaussianos
Un punto fijo se llama gaussiano si corresponde a una teoría libre. Sus exponentes críticos concuerdan con las dimensiones de masa canónicas de los operadores correspondientes, lo que generalmente equivale a los valores triviales de punto fijo. para todos los acoplamientos esenciales . Por lo tanto, la teoría de perturbación estándar es aplicable solo en la vecindad de un punto fijo gaussiano. En este sentido, la seguridad asintótica en el punto fijo de Gauss es equivalente a la renormalización perturbativa más la libertad asintótica . Sin embargo, debido a los argumentos presentados en las secciones introductorias, esta posibilidad se descarta por gravedad.
Por el contrario, un punto fijo no trivial, es decir, un punto fijo cuyos exponentes críticos difieren de los canónicos, se denomina no gaussiano . Por lo general, esto requiere por al menos un esencial . Es un punto fijo no gaussiano el que proporciona un posible escenario para la gravedad cuántica. Por lo tanto, los estudios sobre este tema se han centrado principalmente en establecer su existencia.
Gravedad cuántica de Einstein (QEG)
La gravedad cuántica de Einstein (QEG) es el nombre genérico de cualquier teoría cuántica de la gravedad de campos que (independientemente de su acción pura ) toma la métrica del espacio-tiempo como variable de campo dinámico y cuya simetría está dada por la invariancia de difeomorfismo . Éste fija el espacio teórico y un flujo RG de la acción media efectiva definida sobre él, pero no singulariza a priori ninguna acción específica funcional. Sin embargo, la ecuación de flujo determina un campo vectorial en ese espacio teórico que puede investigarse. Si muestra un punto fijo no gaussiano mediante el cual se puede tomar el límite de UV de forma "asintóticamente segura", este punto adquiere el estado de acción desnuda.
Implementación a través de la acción promedio efectiva
Ecuación de grupo de renormalización funcional exacta
La herramienta principal para investigar el flujo de RG gravitacional con respecto a la escala de energía. en el nivel no perturbativo es la acción promedio efectiva por gravedad. [14] Es la versión dependiente de la escala de la acción efectiva donde en los modos de campo integral funcional subyacente con momentos covariantes debajose suprimen mientras que solo se integran los restantes. Para un espacio teórico dado, dejemos y denotan el conjunto de campos dinámicos y de fondo, respectivamente. Luegosatisface la siguiente ecuación funcional RG (FRGE) de tipo Wetterich-Morris : [10] [11]
Aquí es la segunda derivada funcional de con respecto a los campos cuánticos en fijo . El operador de supresión de modo provee un -Término de masa dependiente para fluctuaciones con momentos covariantes y desaparece por . Su aparición en el numerador y denominador hace que la supertraza tanto infrarrojos como UV finitos, alcanzando su punto máximo en momentos . La FRGE es una ecuación exacta sin aproximaciones perturbadoras. Dada una condición inicial, determina para todas las escalas de forma única.
Las soluciones de la FRGE interpolar entre la acción desnuda (microscópica) en y la acción efectiva a . Pueden visualizarse como trayectorias en el espacio teórico subyacente . Tenga en cuenta que el FRGE en sí es independiente de la acción simple. En el caso de una teoría asintóticamente segura, la acción desnuda está determinada por el punto fijo funcional.
Truncamientos del espacio teórico
Supongamos que hay un conjunto de funciones básicas abarcando el espacio teórico considerado de modo que cualquier acción funcional, es decir, cualquier punto de este espacio teórico, pueda escribirse como una combinación lineal de's. Entonces solucionesde la FRGE tienen expansiones de la forma
Al insertar esta expansión en el FRGE y expandir la traza en su lado derecho para extraer las funciones beta , se obtiene la ecuación RG exacta en forma de componentes:. Junto con las condiciones iniciales correspondientes, estas ecuaciones fijan la evolución de los acoplamientos en marcha., y así determinar completamente. Como se puede ver, la FRGE da lugar a un sistema de infinitas ecuaciones diferenciales acopladas ya que hay infinitos acoplamientos, y el-Las funciones pueden depender de todos ellos. Esto hace que sea muy difícil resolver el sistema en general.
Una posible salida es restringir el análisis en un subespacio de dimensión finita como una aproximación del espacio teórico completo. En otras palabras, tal truncamiento del espacio teórico pone a cero todos menos un número finito de acoplamientos, considerando solo la base reducida con . Esto equivale al ansatz
conduciendo a un sistema de un número finito de ecuaciones diferenciales acopladas, , que ahora se puede resolver empleando técnicas analíticas o numéricas.
Claramente, se debe elegir un truncamiento de modo que incorpore tantas características del flujo exacto como sea posible. Aunque es una aproximación, el flujo truncado todavía exhibe el carácter no perturbativo del FRGE, y el-Las funciones pueden contener aportaciones de todas las potencias de los acoplamientos.
Evidencia de seguridad asintótica a partir de ecuaciones de flujo truncado
El truncamiento de Einstein-Hilbert
Como se describió en la sección anterior, el FRGE se presta a una construcción sistemática de aproximaciones no perturbativas a las funciones beta gravitacionales al proyectar el flujo RG exacto en subespacios abarcados por un ansatz adecuado para. En su forma más simple, tal ansatz viene dado por la acción de Einstein-Hilbert donde la constante de Newton y la constante cosmológica dependen de la escala RG . Dejar y denotan la métrica dinámica y de fondo, respectivamente. Luego lee, para una dimensión espaciotemporal arbitraria ,
Aquí es la curvatura escalar construida a partir de la métrica. Además,denota la acción de fijación del calibre , yla acción fantasma con los campos fantasma y .
El correspondiente -funciones, que describen la evolución de la constante adimensional de Newton y la constante cosmológica adimensional , se han derivado por primera vez en la referencia [14] para cualquier valor de la dimensionalidad del espacio-tiempo, incluidos los casos de abajo y arriba dimensiones. En particular, endimensiones dan lugar al diagrama de flujo RG que se muestra en el lado izquierdo. El resultado más importante es la existencia de un punto fijo no gaussiano adecuado para la seguridad asintótica. Es atractivo a los rayos UV tanto en- y en -dirección.
Este punto fijo está relacionado con el que se encuentra en dimensiones por métodos perturbativos en el sentido de que se recupera en el enfoque no perturbativo presentado aquí insertando en el -funciones y expansión de poderes de . [14] Desde el-Se demostró que las funciones existen y se calcularon explícitamente para cualquier valor real, es decir, no necesariamente entero de , aquí no se trata de una continuación analítica. El punto fijo en dimensiones, también, es un resultado directo de las ecuaciones de flujo no perturbativas y, en contraste con los intentos anteriores, no hay extrapolación en se requiere.
Truncamientos extendidos
Posteriormente, se ha confirmado la existencia del punto fijo que se encuentra dentro del truncamiento de Einstein-Hilbert en subespacios de complejidad sucesivamente creciente. El siguiente paso en este desarrollo fue la inclusión de un-term en el ansatz de truncamiento. [18] Esto se ha ampliado aún más teniendo en cuenta los polinomios de la curvatura escalar. (así llamado -truncamientos), [19] y el cuadrado del tensor de curvatura de Weyl . [20] [21] Además, las teorías f (R) han sido investigadas en la Aproximación de Potencial Local encontrando puntos fijos no perturbadores en apoyo del escenario de Seguridad Asintótica. [22] Además, se ha investigado el impacto de varios tipos de campos de la materia. [15] También los cálculos basados en una acción promedio efectiva invariante de reparametrización de campo parecen recuperar el punto fijo crucial. [23] En combinación, estos resultados constituyen una fuerte evidencia de que la gravedad en cuatro dimensiones es una teoría de campo cuántico renormalizable no perturbativamente, de hecho con una superficie crítica UV de dimensionalidad reducida, coordinada por sólo unos pocos acoplamientos relevantes. [dieciséis]
La estructura microscópica del espacio-tiempo
Los resultados de las investigaciones asintóticas relacionadas con la seguridad indican que los espaciotiempos efectivos de QEG tienen propiedades fractales a escalas microscópicas. Es posible determinar, por ejemplo, su dimensión espectral y argumentar que sufren una reducción dimensional de 4 dimensiones a distancias macroscópicas a 2 dimensiones microscópicamente. [24] [25] En este contexto, podría ser posible establecer la conexión con otros enfoques de la gravedad cuántica, por ejemplo , triangulaciones dinámicas causales , y comparar los resultados. [26]
Aplicaciones físicas de la gravedad asintóticamente segura
Las consecuencias fenomenológicas del escenario de seguridad asintótica se han investigado en muchas áreas de la física gravitacional. Como ejemplo, la seguridad asintótica en combinación con el modelo estándar permite una declaración sobre la masa del bosón de Higgs y el valor de la constante de estructura fina . [27] Además, proporciona posibles explicaciones para fenómenos particulares en cosmología y astrofísica , relacionados con los agujeros negros o la inflación , por ejemplo. [27] Estos diferentes estudios aprovechan la posibilidad de que el requisito de seguridad asintótica pueda dar lugar a nuevas predicciones y conclusiones para los modelos considerados, a menudo sin depender de supuestos adicionales, posiblemente no observados.
Críticas a la seguridad asintótica
Algunos investigadores argumentaron que las implementaciones actuales del programa de seguridad asintótica para la gravedad tienen características no físicas, como el funcionamiento de la constante de Newton. [28] Otros argumentaron que el concepto mismo de seguridad asintótica es un nombre inapropiado, ya que sugiere una característica novedosa en comparación con el paradigma RG de Wilson, mientras que no hay ninguna (al menos en el contexto de la teoría cuántica de campos, donde este término también se usa) . [29]
Ver también
- Libertad asintótica
- Triangulación dinámica causal
- Conjuntos causales
- Fenómenos críticos
- Gravedad cuántica euclidiana
- Cosmología fractal
- Grupo de renormalización funcional
- Bucle de gravedad cuántica
- Renormalización perturbativa
- Escala de planck
- Aplicaciones físicas de la gravedad asintóticamente segura
- Cálculo de Regge
- Gravedad cuántica
- Grupo de renormalización
- Punto fijo ultravioleta
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Otras lecturas
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enlaces externos
- Preguntas frecuentes sobre seguridad asintótica : una colección de preguntas y respuestas sobre la seguridad asintótica y una lista completa de referencias.
- Seguridad asintótica en la gravedad cuántica : un artículo de Scholarpedia sobre el mismo tema con algunos detalles más sobre la acción promedio gravitacional efectiva.
- La teoría cuántica de campos: ¿efectiva o fundamental? - Una charla de Steven Weinberg en el CERN el 7 de julio de 2009.
- Seguridad asintótica - 30 años después - Todas las charlas del taller celebradas en el Instituto Perimetral del 5 al 8 de noviembre de 2009.
- Cuatro rutas radicales hacia una teoría del todo : un artículo de Amanda Gefter sobre la gravedad cuántica, publicado en 2008 en New Scientist (Physics & Math).