En matemáticas , un factor automórfico es un cierto tipo de función analítica , definida en subgrupos de SL (2, R) , que aparece en la teoría de formas modulares . El caso general, para grupos generales, se revisa en el artículo ' factor de automorfia '.
Un factor automórfico de peso k es una función
![{\displaystyle \nu :\Gamma \times \mathbb {H} \to \mathbb {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
satisfaciendo las cuatro propiedades dadas a continuación. Aquí, la notación
y
se refieren al semiplano superior y al plano complejo , respectivamente. La notación
es un subgrupo de SL (2, R), como, por ejemplo, un grupo fucsiano . Un elemento
es una matriz de 2x2
![{\displaystyle \gamma =\left[{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
con a , b , c , d números reales, satisfaciendo ad - bc = 1.
Un factor automórfico debe satisfacer:
- 1. Por un fijo
, la función
es una función holomórfica de
.
- 2. Para todos
y
, uno tiene ![{\displaystyle \vert \nu (\gamma ,z)\vert =\vert cz+d\vert ^{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- para un número real fijo k .
- 3. Para todos
y
, uno tiene
![{\displaystyle \nu (\gamma \delta ,z)=\nu (\gamma ,\delta z)\nu (\delta ,z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Aquí,
es la transformada lineal fraccionaria de
por
.
- 4.Si
, entonces para todos
y
, uno tiene
![{\displaystyle \nu (-\gamma ,z)=\nu (\gamma ,z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Aquí, I denota la matriz identidad .
Cada factor automórfico puede escribirse como
![{\displaystyle \nu (\gamma ,z)=\upsilon (\gamma )(cz+d)^{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
con
![{\displaystyle \vert \upsilon (\gamma )\vert =1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La función
se llama sistema multiplicador . Claramente,
,
mientras, si
, luego
![{\displaystyle \upsilon (-I)=e^{-i\pi k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que es igual
cuando k es un número entero.