Rango de una curva elíptica

En matemáticas , el rango de una curva elíptica es el rango racional de Mordell-Weil de una curva elíptica definida sobre el campo de los números racionales . El rango está relacionado con varios problemas destacados en la teoría de números , entre los que destaca la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer . Se cree ampliamente que no existe un rango máximo para una curva elíptica, ^[1] y se ha demostrado que existen curvas con un rango tan grande como 28, ^[2] pero se cree ampliamente que tales curvas son raras. De hecho, Goldfeld ^[3] y más tarde Katz - Sarnak ^[4] ${\ Displaystyle E}$ Conjeturó que en un sentido asintótico adecuado (ver más abajo ), el rango de las curvas elípticas debería ser 1/2 en promedio. En otras palabras, la mitad de todas las curvas elípticas deben tener rango 0 (lo que significa que la parte infinita de su grupo Mordell-Weil es trivial) y la otra mitad debe tener rango 1; todos los rangos restantes consisten en un total del 0% de todas las curvas elípticas.

El teorema de Mordell-Weil muestra que es un grupo abeliano generado finitamente, por lo tanto, ¿ dónde está el subgrupo de torsión finita y r es el rango de la curva elíptica? ${\ Displaystyle E (\ mathbb {Q})}$ ${\ Displaystyle E (\ mathbb {Q}) \ cong E (\ mathbb {Q}) _ {tors} \ times \ mathbb {Z} ^ {r}}$ ${\ Displaystyle E (\ mathbb {Q}) _ {tors}}$

Para obtener una noción razonable de "promedio", uno debe poder contar las curvas elípticas de alguna manera. Esto requiere la introducción de una función de altura en el conjunto de curvas elípticas racionales. Para definir tal función, recuerde que una curva elíptica racional se puede dar en términos de una forma de Weierstrass , es decir, podemos escribir ${\ Displaystyle E / \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle E / \ mathbb {Q}}$

para algunos enteros . Además, este modelo es único si para cualquier número primo tal que divide , tenemos . Entonces podemos suponer que son enteros que satisfacen esta propiedad y definen una función de altura en el conjunto de curvas elípticas por ${\ Displaystyle A, B}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle p ^ {4}}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle p ^ {6} \ nmid B}$ ${\ Displaystyle A, B}$ ${\ Displaystyle E / \ mathbb {Q}}$

Entonces se puede demostrar que el número de curvas elípticas con altura limitada es finito. ${\ Displaystyle E / \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle H (E)}$