Una función de altura es una función que cuantifica la complejidad de los objetos matemáticos. En la geometría diofántica , las funciones de altura cuantifican el tamaño de las soluciones de las ecuaciones diofánticas y normalmente son funciones de un conjunto de puntos en variedades algebraicas (o un conjunto de variedades algebraicas) a los números reales . [1]
Por ejemplo, la altura clásica o ingenua sobre los números racionales se define típicamente como el máximo de los numeradores y denominadores de las coordenadas (por ejemplo, 3 para las coordenadas (3/9, 1/2) ), pero en una escala logarítmica .
Significado
Las funciones de altura permiten a los matemáticos contar objetos, como puntos racionales , que de otra manera serían infinitos en cantidad. Por ejemplo, el conjunto de números racionales de altura ingenua (el máximo del numerador y denominador cuando se expresa en los términos más bajos ) por debajo de cualquier constante dada es finito a pesar de que el conjunto de números racionales es infinito. [2] En este sentido, las funciones de altura se pueden usar para probar resultados asintóticos como el teorema de Baker en la teoría de números trascendentales que fue probado por Alan Baker ( 1966 , 1967a , 1967b ).
En otros casos, las funciones de altura pueden distinguir algunos objetos en función de su complejidad. Por ejemplo, el teorema del subespacio probado por Wolfgang M. Schmidt ( 1972 ) demuestra que los puntos de pequeña altura (es decir, pequeña complejidad) en el espacio proyectivo se encuentran en un número finito de hiperplanos y generaliza el teorema de Siegel sobre puntos integrales y solución de la unidad S ecuación . [3]
Funciones de altura fueron cruciales para las pruebas del teorema de Mordell-Weil y el teorema de Faltings por Weil ( 1929 ) y Faltings ( 1983 ), respectivamente. Varios problemas sin resolver pendientes sobre las alturas de los puntos racionales sobre variedades algebraicas, como la conjetura de Manin y la conjetura de Vojta , tienen implicaciones de largo alcance para los problemas en Diophantine aproximación , ecuaciones diofánticas , la geometría aritmética y lógica matemática . [4] [5]
Funciones de altura en geometría diofántica
Historia
Las alturas en geometría diofántica fueron desarrolladas inicialmente por André Weil y Douglas Northcott a partir de la década de 1920. [6] Las innovaciones en la década de 1960 fueron la altura de Néron-Tate y la comprensión de que las alturas estaban vinculadas a representaciones proyectivas de la misma manera que los haces de líneas amplias en otras partes de la geometría algebraica . En la década de 1970, Suren Arakelov desarrolló las alturas de Arakelov en la teoría de Arakelov . [7] En 1983, Faltings desarrolló su teoría de las alturas de Faltings en su demostración del teorema de Faltings. [8]
Altura ingenua
La altura clásica o ingenua se define en términos de valor absoluto ordinario en coordenadas homogéneas . Por lo general, es una escala logarítmica y, por lo tanto, puede considerarse proporcional a la "complejidad algebraica" o al número de bits necesarios para almacenar un punto. [9] Normalmente se define como el logaritmo del valor absoluto máximo del vector de enteros coprimos obtenido al multiplicar por un mínimo común denominador . Esto puede usarse para definir la altura en un punto en el espacio proyectivo sobre Q , o de un polinomio, considerado como un vector de coeficientes, o de un número algebraico, desde la altura de su polinomio mínimo. [10]
La altura ingenua de un número racional x = p / q (en términos más bajos) es
- altura multiplicativa [11]
- altura logarítmica: [12]
Por lo tanto, las alturas logarítmicas y multiplicativas ingenuas de 4/10 son 5 y log (5) , por ejemplo.
La altura ingenua H de una curva elíptica E dada por y 2 = x 3 + Ax + B se define como H (E) = log max (4 | A | 3 , 27 | B | 2 ) . [13]
Altura de Néron-Tate
La altura de Néron-Tate , o altura canónica , es una forma cuadrática en el grupo de Mordell-Weil de puntos racionales de una variedad abeliana definida sobre un campo global . Lleva el nombre de André Néron , quien primero lo definió como una suma de alturas locales, [14] y John Tate , quien lo definió globalmente en una obra inédita. [15]
Altura de Weil
La altura Weil se define en una variedad proyectiva X sobre un campo de número K equipado con una línea de haz de L en X . Dado un paquete de líneas muy amplio L 0 en X , se puede definir una función de altura utilizando la función de altura ingenua h . Dado que L 0 ' es muy amplio, su sistema lineal completo da un mapa ϕ desde X al espacio proyectivo. Luego, para todos los puntos p en X , defina[16] [17]
Se puede escribir un haz de líneas arbitrario L en X como la diferencia de dos haces de líneas muy amplios L 1 y L 2 en X , hasta la gavilla torcida de Serre O (1) , por lo que se puede definir la altura de Weil h L en X con respecto a a L vía(hasta O (1) ). [16] [17]
Altura de Arakelov
La altura de Arakelov en un espacio proyectivo sobre el campo de números algebraicos es una función de altura global con contribuciones locales provenientes de las métricas de Fubini-Study en los campos de Arquímedes y la métrica habitual en los campos de no Arquímedes . [18] [19] Es la altura de Weil habitual equipada con una métrica diferente. [20]
Altura de los faltings
La altura de Faltings de una variedad abeliana definida sobre un campo numérico es una medida de su complejidad aritmética. Se define en términos de la altura de un haz de líneas metrizado . Fue introducido por Faltings ( 1983 ) en su prueba de la conjetura de Mordell .
Funciones de altura en álgebra
Altura de un polinomio
Para un polinomio P de grado n dado por
la altura H ( P ) se define como el máximo de las magnitudes de sus coeficientes: [21]
De manera similar, se podría definir la longitud L ( P ) como la suma de las magnitudes de los coeficientes:
Relación con la medida de Mahler
La medida Mahler M ( P ) de P es también una medida de la complejidad de P . [22] Las tres funciones H ( P ), L ( P ) y M ( P ) están relacionadas por las desigualdades
dónde es el coeficiente binomial .
Funciones de altura en formas automórficas
Una de las condiciones en la definición de una forma automórfica en el grupo lineal general de un grupo algebraico adelico es el crecimiento moderado , que es una condición asintótica en el crecimiento de una función de altura en el grupo lineal general visto como una variedad afín . [23]
Ver también
- conjetura abc
- Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
- Conjetura elíptica de Lehmer
- Constante de Heath-Brown-Moroz
- Altura de una ley de grupo formal
- Función altura zeta
- Teorema de la isogenia de Raynaud
- Altura del árbol
Referencias
- ^ Lang ( 1997 , págs. 43-67)
- ^ Bombieri y Gubler ( 2006 , págs. 15-21)
- ^ Bombieri y Gubler ( 2006 , págs. 176-230)
- ^ Vojta ( 1987 )
- ^ Faltings ( 1991 )
- ↑ Weil ( 1929 )
- ↑ Lang ( 1988 )
- ^ Faltings ( 1983 )
- ^ Bombieri y Gubler ( 2006 , págs. 15-21)
- ^ Baker y Wüstholz ( 2007 , p. 3)
- ^ planetmath: función de altura
- ^ pregunta mathoverflow: altura-promedio-de-puntos-racionales-en-una-curva
- ^ Altura canónica en una curva elíptica en PlanetMath .
- ↑ Néron ( 1965 )
- ↑ Lang ( 1997 )
- ↑ a b Silverman ( 1994 , III.10)
- ↑ a b Bombieri y Gubler ( 2006 , Secciones 2.2-2.4)
- ^ Bombieri y Gubler ( 2006 , págs. 66–67)
- ^ Lang ( 1988 , págs. 156-157)
- ^ Fili, Petsche y Pritsker ( 2017 , p. 441)
- ^ Borwein ( 2002 )
- ↑ Mahler ( 1963 )
- ^ Bump ( 1998 )
Fuentes
- Baker, Alan (1966). "Formas lineales en los logaritmos de números algebraicos. I". Mathematika. Una revista de matemáticas puras y aplicadas . 13 (2): 204–216. doi : 10.1112 / S0025579300003971 . ISSN 0025-5793 . Señor 0220680 .
- Baker, Alan (1967a). "Formas lineales en los logaritmos de números algebraicos. II". Mathematika. Una revista de matemáticas puras y aplicadas . 14 : 102-107. doi : 10.1112 / S0025579300008068 . ISSN 0025-5793 . Señor 0220680 .
- Baker, Alan (1967b). "Formas lineales en los logaritmos de números algebraicos. III". Mathematika. Una revista de matemáticas puras y aplicadas . 14 (2): 220-228. doi : 10.1112 / S0025579300003843 . ISSN 0025-5793 . Señor 0220680 .
- Baker, Alan; Wüstholz, Gisbert (2007). Formas logarítmicas y geometría diofántica . Nuevas monografías matemáticas. 9 . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 3. ISBN 978-0-521-88268-2. Zbl 1145.11004 .
- Bombieri, Enrico ; Gubler, Walter (2006). Alturas en geometría diofántica . Nuevas monografías matemáticas. 4 . Prensa de la Universidad de Cambridge . doi : 10.2277 / 0521846153 . ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034 .
- Borwein, Peter (2002). Excursiones computacionales en análisis y teoría de números . Libros CMS en Matemáticas. Springer-Verlag . págs. 2 , 3, 14148. ISBN 0-387-95444-9. Zbl 1020.12001 .
- Bump, Daniel (1998). Formas y representaciones automórficas . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 55 . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 300. ISBN 9780521658188.
- Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. (1986). Geometría aritmética . Nueva York: Springer. ISBN 0387963111.→ Contiene una traducción al inglés de Faltings (1983)
- Faltings, Gerd (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [Teoremas de finitud para variedades abelianas sobre campos numéricos]. Inventiones Mathematicae (en alemán). 73 (3): 349–366. doi : 10.1007 / BF01388432 . Señor 0718935 . S2CID 121049418 .
- Faltings, Gerd (1991). "Aproximación diofántica sobre variedades abelianas". Annals of Mathematics . 123 (3): 549–576. doi : 10.2307 / 2944319 . JSTOR 2944319 . Señor 1109353 .
- Fili, Paul; Petsche, Clayton; Pritsker, Igor (2017). "Integrales de energía y pequeños puntos para la altura de Arakelov". Archiv der Mathematik . 109 (5): 441–454. arXiv : 1507.01900 . doi : 10.1007 / s00013-017-1080-x . S2CID 119161942 .
- Mahler, K. (1963). "Sobre dos propiedades extremas de polinomios" . Illinois J. Math . 7 (4): 681–701. doi : 10.1215 / ijm / 1255645104 . Zbl 0117.04003 .
- Néron, André (1965). "Quasi-fonctions et hauteurs sur les variétés abéliennes". Ana. de Matemáticas. (en francés). 82 (2): 249–331. doi : 10.2307 / 1970644 . JSTOR 1970644 . Señor 0179173 .
- Schinzel, Andrzej (2000). Polinomios con especial atención a la reducibilidad . Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones. 77 . Cambridge: Cambridge University Press . pag. 212 . ISBN 0-521-66225-7. Zbl 0956.12001 .
- Schmidt, Wolfgang M. (1972). "Ecuaciones en forma de norma". Annals of Mathematics . Segunda Serie. 96 (3): 526–551. doi : 10.2307 / 1970824 . JSTOR 1970824 . Señor 0314761 .
- Lang, Serge (1988). Introducción a la teoría de Arakelov . Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-96793-1. Señor 0969124 . Zbl 0667.14001 .
- Lang, Serge (1997). Estudio de geometría diofántica . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051 .
- Weil, André (1929). "L'arithmétique sur les courbes algébriques" . Acta Mathematica . 52 (1): 281–315. doi : 10.1007 / BF02592688 . Señor 1555278 .
- Silverman, Joseph H. (1994). Temas avanzados en aritmética de curvas elípticas . Nueva York: Springer. ISBN 978-1-4612-0851-8.
- Vojta, Paul (1987). Aproximaciones diofánticas y teoría de la distribución de valores . Apuntes de clase en matemáticas. 1239 . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . doi : 10.1007 / BFb0072989 . ISBN 978-3-540-17551-3. Señor 0883451 . Zbl 0609.14011 .
enlaces externos
- Altura del polinomio en Mathworld