En la teoría de conjuntos axiomáticos , el esquema de axiomas de separación predicativa , o de separación restringida o Δ 0 , es un esquema de axiomas que es una restricción del esquema de axiomas de separación habitual en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . Este nombre Δ 0 proviene de la jerarquía de Lévy , en analogía con la jerarquía aritmética .
Declaración
El axioma afirma solo la existencia de un subconjunto de un conjunto si ese subconjunto puede definirse sin referencia a todo el universo de conjuntos. El enunciado formal de esto es el mismo que el esquema de separación completo, pero con una restricción en las fórmulas que se pueden usar: Para cualquier fórmula φ,
siempre que φ contenga solo cuantificadores acotados y, como es habitual, que la variable y no esté libre en él. Entonces, todos los cuantificadores en φ, si los hay, deben aparecer en las formas
para alguna subfórmula ψ y, por supuesto, la definición de también está sujeto a esas reglas.
Motivación
Esta restricción es necesaria desde un punto de vista predicativo , ya que el universo de todos los conjuntos contiene el conjunto que se está definiendo. Si se hiciera referencia a él en la definición del conjunto, la definición sería circular.
Teorías
El axioma aparece en los sistemas de teoría de conjuntos constructiva CST y CZF, así como en el sistema de teoría de conjuntos de Kripke-Platek .
Axiomatizabilidad finita
Aunque el esquema contiene un axioma para cada fórmula restringida φ, es posible en CZF reemplazar este esquema con un número finito de axiomas. [ cita requerida ]