En física teórica, el instante BPST es el instante con el devanado número 1 encontrado por Alexander Belavin , Alexander Polyakov , Albert Schwarz y Yu. S. Tyupkin . [1] Es una solución clásica a las ecuaciones de movimiento de SU (2) Teoría de Yang-Mills en el espacio-tiempo euclidiano (es decir, después de la rotación de Wick ), lo que significa que describe una transición entre dos vacíos diferentes de la teoría. Originalmente se esperaba abrir el camino para resolver el problema del confinamiento., especialmente desde que Polyakov había demostrado en 1987 que los instantones son la causa del confinamiento en el QED compacto tridimensional. [2] Sin embargo, esta esperanza no se hizo realidad.
Descripción
El instante
El instante BPST es una solución clásica esencialmente no perturbativa de las ecuaciones de campo de Yang-Mills. Se encuentra al minimizar la densidad lagrangiana de Yang-Mills SU (2) :
con F μν a = ∂ μ A ν a - ∂ ν A μ a + g ε abc A μ b A ν c la intensidad del campo . El instanton es una solución con acción finita, por lo que F μν debe ir a cero en el espacio-tiempo infinito, lo que significa que A μ pasa a una configuración de calibre puro. El infinito espacio-tiempo de nuestro mundo de cuatro dimensiones es S 3 . El grupo de calibres SU (2) tiene exactamente la misma estructura, por lo que las soluciones con A μ calibre puro en el infinito son asignaciones de S 3 sobre sí mismas. [1] Estas asignaciones se pueden etiquetar con un número entero q , el índice de Pontryagin (o número sinuoso ). Los instantones tienen q = 1 y, por lo tanto, corresponden (en el infinito) a las transformaciones de calibre que no pueden deformarse continuamente a la unidad. [3] Por tanto, la solución de BPST es topológicamente estable.
Se puede demostrar que las configuraciones auto-duales que obedecen a la relación F μν a = ± ½ ε μναβ F αβ a minimizan la acción. [4] Las soluciones con un signo más se denominan instantones, las que tienen el signo menos son anti-instantones.
Se pueden mostrar instantons y anti-instantons para minimizar la acción localmente de la siguiente manera:
- , dónde .
El primer término se minimiza mediante configuraciones auto-dual o anti-auto-dual, mientras que el último término es una derivada total y por lo tanto depende solo del límite (es decir, ) de la solución; por lo tanto, es un invariante topológico y se puede demostrar que es un número entero multiplicado por alguna constante (la constante aquí es). El entero se llama número instanton (ver Grupo de homotopía ).
Explícitamente, la solución instanton viene dada por [5]
con z μ el centro y ρ la escala del instante. η a μν es el símbolo de 't Hooft :
Para x 2 grande , ρ se vuelve insignificante y el campo de calibre se acerca al de la transformación de calibre pura:. De hecho, la intensidad del campo es:
y se acerca a cero tan rápido como r −4 en el infinito.
Un anti-instanton se describe con una expresión similar, pero con el símbolo 't Hooft reemplazado por el símbolo anti-'t Hooft , que es igual al símbolo ordinario de 't Hooft, excepto que los componentes con uno de los índices de Lorentz igual a cuatro tienen signo opuesto.
La solución BPST tiene muchas simetrías. [6] Las traducciones y dilataciones transforman una solución en otras soluciones. La inversión de coordenadas ( x μ → x μ / x 2 ) transforma un instante de tamaño ρ en un anti-instante de tamaño 1 / ρ y viceversa. Las rotaciones en cuatro espacios euclidianos y las transformaciones conformes especiales dejan la solución invariante (hasta una transformación de calibre).
La acción clásica de un instanton es igual a [4]
Dado que esta cantidad viene en forma exponencial en el formalismo integral de trayectoria, este es un efecto esencialmente no perturbativo, ya que la función e −1 / x ^ 2 tiene una serie de Taylor que se desvanece en el origen, a pesar de ser distinta de cero en otros lugares.
Otros calibres
La expresión para el instante BPST dada arriba está en el llamado calibre Landau regular . Existe otra forma, que es equivalente a gauge con la expresión dada arriba, en el singular gauge de Landau . En ambos calibres, la expresión satisface ∂ μ A μ = 0. En calibre singular, el instante es
En calibre singular, la expresión tiene una singularidad en el centro del instante, pero va a cero más rápidamente para x hasta el infinito.
Cuando se trabaja en otros calibres distintos al calibre Landau, se pueden encontrar expresiones similares en la literatura.
Generalización e incrustación en otras teorías
A temperatura finita, el instanton BPST se generaliza a lo que se llama un caloron .
Lo anterior es válido para una teoría de Yang-Mills con SU (2) como grupo de calibre. Puede generalizarse fácilmente a un grupo arbitrario no abeliano. Los instantones vienen dados por el instante BPST para algunas direcciones en el espacio de grupo y por cero en las otras direcciones.
Al volver a una teoría de Yang-Mills con ruptura de simetría espontánea debido al mecanismo de Higgs , uno encuentra que los instantones BPST ya no son soluciones exactas a las ecuaciones de campo. Para encontrar soluciones aproximadas, se puede utilizar el formalismo de instantones restringidos. [7]
Instanton gas y liquido
En QCD
Se espera que los instantones similares a BPST jueguen un papel importante en la estructura de vacío de QCD . De hecho, los instantones se encuentran en cálculos de celosía . Los primeros cálculos realizados con instantones utilizaron la aproximación de gas diluido. Los resultados obtenidos no resolvieron el problema infrarrojo de QCD, lo que hizo que muchos físicos se alejaran de la física instantánea. Más tarde, sin embargo, se propuso un modelo líquido instantáneo , que resultó ser un enfoque más prometedor. [8]
El modelo de gas instantónico diluido parte de la suposición de que el vacío de QCD consiste en un gas de instantones BPST. Aunque sólo se conocen con exactitud las soluciones con uno o pocos instantones (o anti-instantones), se puede aproximar un gas diluido de instantones y anti-instantones considerando una superposición de soluciones de un instante a grandes distancias entre sí. 't Hooft calculó la acción efectiva para tal conjunto, [5] y encontró una divergencia infrarroja para grandes instantones, lo que significa que una cantidad infinita de instantones infinitamente grandes poblarían el vacío.
Posteriormente, se estudió un modelo líquido instanton . Este modelo parte del supuesto de que un conjunto de instantones no se puede describir mediante una mera suma de instantones separados. Se han propuesto varios modelos, introduciendo interacciones entre instancias o usando métodos variacionales (como la "aproximación de valle") tratando de aproximar la solución exacta de instancias múltiples lo más cerca posible. Se han alcanzado muchos éxitos fenomenológicos. [8] El confinamiento parece ser el mayor problema en la teoría de Yang-Mills para el cual los instantones no tienen respuesta alguna.
En la teoría electrodébil
La interacción débil es descrito por SU (2), de modo que instantones se puede esperar que desempeñar un papel allí también. Si es así, inducirían una violación del número bariónico . Debido al mecanismo de Higgs , los instantones ya no son soluciones exactas, pero en su lugar se pueden usar aproximaciones. Una de las conclusiones es que la presencia de una masa de bosones gauge suprime los instantones grandes, de modo que la aproximación del gas instantón es consistente.
Debido a la naturaleza no perturbative de instantones, todos sus efectos son suprimidos por un factor de e -16π² / g ² , que, en teoría electrodébil, es del orden 10 -179 .
Otras soluciones a las ecuaciones de campo
El instanton y anti-instanton no son las únicas soluciones de las ecuaciones de campo de Yang-Mills con rotación de Wick. Se han encontrado soluciones multi-instanton para q igual a dos y tres, y también existen soluciones parciales para q mayor . Las soluciones generales de múltiples instancias solo se pueden aproximar usando la aproximación de valle: una comienza desde un determinado ansatz (generalmente la suma del número requerido de instancias) y una minimiza numéricamente la acción bajo una restricción dada (manteniendo el número de instancias y los tamaños de la constante de instantons).
También existen soluciones que no son auto-duales. [9] Estos no son mínimos locales de la acción, sino que corresponden a puntos de silla.
Los instantones también están estrechamente relacionados con los merones , [10] soluciones singulares no duales de las ecuaciones de campo euclidianas de Yang-Mills de carga topológica 1/2. Se cree que los instantones están compuestos por dos merones.
Ver también
- Instanton
- Meron
- Monopolo de Wu-Yang
Referencias
- ^ a b A.A. Belavin; AM Polyakov; AS Schwartz; Yu S. Tyupkin (1975). "Soluciones de pseudopartículas de las ecuaciones de Yang-Mills". Phys. Letón. B . 59 (1): 85–87. Código Bibliográfico : 1975PhLB ... 59 ... 85B . doi : 10.1016 / 0370-2693 (75) 90163-X .
- ^ Polyakov, Alexander (1975). "Campos de calibre compacto y la catástrofe infrarroja". Phys. Letón. B . 59 (1): 82–84. Código Bibliográfico : 1975PhLB ... 59 ... 82P . doi : 10.1016 / 0370-2693 (75) 90162-8 .
- ^ S. Coleman, Los usos de instantons , Int. Escuela de Física Subnuclear, (Erice, 1977)
- ^ a b Instantons en teorías de gauge, M.Shifman, World Scientific, ISBN 981-02-1681-5
- ^ a b 't Hooft, Gerard (1976). "Cálculo de los efectos cuánticos debido a una pseudopartícula de cuatro dimensiones". Phys. Rev. D . 14 (12): 3432–3450. Código Bibliográfico : 1976PhRvD..14.3432T . doi : 10.1103 / PhysRevD.14.3432 .
- ^ R. Jackiw y C.Rebbi, propiedades conformales de una pseudopartícula de Yang-Mills , Phys. Rev. D14 (1976) 517
- ^ Affleck, Ian (1981). "En instancias restringidas". Nucl. Phys. B . 191 (2): 429–444. Código Bibliográfico : 1981NuPhB.191..429A . doi : 10.1016 / 0550-3213 (81) 90307-2 .
- ^ a b Hutter, Marcus (1995). "Instantons en QCD: Teoría y aplicación del modelo instanton líquido". arXiv : hep-ph / 0107098 .
- ^ Stefan Vandoren; Peter van Nieuwenhuizen (2008). "Conferencias sobre instantons". arXiv : 0802,1862 [ hep-ésimo ].
- ^ Actor, Alfred (1979). "Soluciones clásicas de las teorías de Yang-Mills SU (2)". Rev. Mod. Phys . 51 (3): 461–525. Código Bibliográfico : 1979RvMP ... 51..461A . doi : 10.1103 / RevModPhys.51.461 .