Grupo de homotopía

Algebraic construct classifying topological spaces

En matemáticas , los grupos de homotopía se utilizan en topología algebraica para clasificar espacios topológicos . El primer y más simple grupo de homotopía es el grupo fundamental , que registra información sobre bucles en un espacio . Intuitivamente, los grupos de homotopía registran información sobre la forma básica, o agujeros , de un espacio topológico.

Para definir el n -ésimo grupo de homotopía, los mapas que preservan el punto base de una esfera n- dimensional (con punto base ) en un espacio dado (con punto base) se recopilan en clases de equivalencia , llamadas clases de homotopía . Dos mapeos son homotópicos si uno puede deformarse continuamente en el otro. Estas clases de homotopía forman un grupo , llamado el n grupo homotopy -ésimo , , del espacio dado X con el punto base. Los espacios topológicos con diferentes grupos de homotopía nunca son equivalentes ( homeomorfos ), pero los espacios topológicos que ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$no son homeomorfos pueden tener los mismos grupos de homotopía.

La noción de homotopía de caminos fue introducida por Camille Jordan . ^[1]

Introducción

En la matemática moderna es común para estudiar una categoría por asociar a cada objeto de esta categoría de un objeto simple que todavía conserva suficiente información sobre el objeto de interés. Los grupos de homotopía son una forma de asociar grupos a espacios topológicos.

Un toro

Una esfera

Ese vínculo entre topología y grupos permite a los matemáticos aplicar conocimientos de la teoría de grupos a la topología . Por ejemplo, si dos objetos topológicos tienen diferentes grupos de homotopía, no pueden tener la misma estructura topológica, un hecho que puede ser difícil de probar usando sólo medios topológicos. Por ejemplo, el toro es diferente de la esfera : el toro tiene un "agujero"; la esfera no lo hace. Sin embargo, dado que la continuidad (la noción básica de topología) solo se ocupa de la estructura local, puede ser difícil definir formalmente la diferencia global obvia. Los grupos de homotopía, sin embargo, llevan información sobre la estructura global.

En cuanto al ejemplo: el primer grupo de homotopía del toro T es

${\displaystyle \pi _{1}(T)=\mathbb {Z} ^{2},}$

porque la cobertura universal del toro es el plano euclidiano , mapeando al toro . Aquí el cociente está en la categoría de espacios topológicos, en lugar de grupos o anillos. Por otro lado, la esfera satisface:${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle T\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$

${\displaystyle \pi _{1}(S^{2})=0,}$

porque cada bucle puede contraerse a un mapa constante (ver grupos de esferas de homotopía para esto y ejemplos más complicados de grupos de homotopía).

Por tanto, el toro no es homeomorfo a la esfera.

Definición

En la n -esfera elegimos un punto base a . Para un espacio X con punto base b , definimos como el conjunto de clases de homotopía de mapas${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \pi _{n}(X)}$

${\displaystyle f:S^{n}\to X}$

que en el mapa los punto base una al punto base b . En particular, las clases de equivalencia vienen dadas por homotopías que son constantes en el punto base de la esfera. Equivalentemente, podemos definir π _n ( X ) para ser el grupo de clases de homotopía de mapas de la n -cube a X que tome el límite de la n -cube a b .${\displaystyle g\colon [0,1]^{n}\to X}$

Composición en el grupo fundamental

Porque , las clases de homotopía forman un grupo . Para definir la operación de grupo, recuerde que en el grupo fundamental , el producto de dos bucles se define configurando${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle f\ast g}$${\displaystyle f,g:[0,1]\to X}$

${\displaystyle f*g={\begin{cases}f(2t)&t\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\g(2t-1)&t\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$

La idea de composición en el grupo fundamental es la de recorrer el primer camino y el segundo en sucesión o, de manera equivalente, unir sus dos dominios. El concepto de composición que queremos para el n -ésimo grupo de homotopía es el mismo, excepto que ahora los dominios que unimos son cubos, y debemos pegarlos a lo largo de una cara. Por lo tanto, definimos la suma de mapas mediante la fórmula${\displaystyle f,g:[0,1]^{n}\to X}$

${\displaystyle (f+g)(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})={\begin{cases}f(2t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})&t_{1}\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots ,t_{n})&t_{1}\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$

Para la definición correspondiente en términos de esferas, defina la suma de mapas que se compondrán con h , donde es el mapa desde la suma de la cuña de dos n -esferas que colapsa el ecuador yh es el mapa de la suma de la cuña de dos n -esferas a X que se define como f en la primera esfera y g en la segunda.${\displaystyle f+g}$${\displaystyle f,g\colon S^{n}\to X}$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle S^{n}}$

Si , entonces es abeliano . ^[2] Además, de forma similar al grupo fundamental, para un espacio conectado por caminos, dos opciones de punto base dan lugar a isomorfos . ^[3]${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle \pi _{n}}$

Es tentador intentar simplificar la definición de grupos de homotopía omitiendo los puntos base, pero esto no suele funcionar para espacios que no están simplemente conectados , incluso para espacios conectados por caminos. El conjunto de clases de homotopía de mapas de una esfera a un espacio conectado por camino no es el grupo de homotopía, pero es esencialmente el conjunto de órbitas del grupo fundamental en el grupo de homotopía, y en general no tiene estructura de grupo natural.

Se ha encontrado una salida a estas dificultades mediante la definición de grupos de mayor homotopía de espacios filtrados y de n -cubos de espacios. Estos están relacionados con grupos de homotopía relativa y con grupos de homotopía n -ádicos, respectivamente. Un teorema de van Kampen de homotopía superior permite entonces derivar alguna información nueva sobre grupos de homotopía e incluso sobre tipos de homotopía. Para obtener más antecedentes y referencias, consulte "Teoría de grupos de dimensiones superiores" y las referencias a continuación.

Larga secuencia exacta de una fibración

Sea p : E → B una fibración de Serre que conserva el punto de base con fibra F , es decir, un mapa que posee la propiedad de elevación de homotopía con respecto a los complejos CW . Suponga que B está conectado con una ruta. Entonces hay una larga secuencia exacta de grupos de homotopía.

${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \cdots \to \pi _{0}(E)\to 0.}$

Aquí los mapas que involucran a π ₀ no son homomorfismos de grupo porque los π ₀ no son grupos, pero son exactos en el sentido de que la imagen es igual al núcleo .

Ejemplo: la fibración de Hopf . Sea B igual a S ² y E igual a S ³ . Sea p la fibración de Hopf , que tiene fibra S ¹ . De la larga secuencia exacta

${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(S^{1})\to \pi _{n}(S^{3})\to \pi _{n}(S^{2})\to \pi _{n-1}(S^{1})\to \cdots }$

y el hecho de que π _n ( S ¹ ) = 0 para n ≥ 2, encontramos que π _n ( S ³ ) = π _n ( S ² ) para n ≥ 3. En particular,${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})=\pi _{3}(S^{3})=\mathbb {Z} .}$

En el caso de un espacio de cobertura, cuando la fibra es discreta, tenemos que π _n ( E ) es isomorfo a π _n ( B ) para n > 1, que π _n ( E ) se incrusta de forma inyectiva en π _n ( B ) para todos n positivos , y que el subgrupo de π ₁ ( B ) que corresponde a la incrustación de π ₁ ( E ) tiene clases laterales en biyección con los elementos de la fibra.

Cuando la fibración es la fibra de mapeo , o doblemente, la cofibración es el cono de mapeo , entonces la secuencia resultante exacta (o dualmente, coexacta) viene dada por la secuencia de Puppe .

Espacios y esferas homogéneos

Hay muchas realizaciones de esferas como espacios homogéneos , que proporcionan buenas herramientas para calcular grupos de homotopía de grupos de Lie y la clasificación de paquetes principales en espacios hechos de esferas.

Grupo ortogonal especial

Hay una fibración ^[4]

${\displaystyle SO(n-1)\to SO(n)\to SO(n)/SO(n-1)\cong S^{n-1}}$

dando la larga secuencia exacta

${\displaystyle \cdots \to \pi _{i}(SO(n-1))\to \pi _{i}(SO(n))\to \pi _{i}(S^{n-1})\to \pi _{i-1}(SO(n-1))\to \cdots }$

que calcula los grupos de homotopía de bajo orden de para , ya que está conectado. En particular, hay una fibración${\displaystyle \pi _{i}(SO(n-1))\cong \pi _{i}(SO(n))}$${\displaystyle i<n-1}$${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle (n-2)}$

${\displaystyle SO(3)\to SO(4)\to S^{3}}$

cuyos grupos de homotopía inferiores se pueden calcular explícitamente. Ya que , y esta la fibracion${\displaystyle SO(3)\cong \mathbb {RP} ^{3}}$

${\displaystyle \mathbb {Z} /2\to S^{n}\to \mathbb {RP} ^{n}}$

tenemos para . Usando esto, y el hecho de que , que se puede calcular usando el sistema Postnikov , tenemos la secuencia larga exacta${\displaystyle \pi _{i}(SO(3))\cong \pi _{i}(S^{3})}$${\displaystyle i>1}$${\displaystyle \pi _{4}(S^{3})=\mathbb {Z} /2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cdots \to &\pi _{4}(SO(3))\to \pi _{4}(SO(4))\to \pi _{4}(S^{3})\to \\\to &\pi _{3}(SO(3))\to \pi _{3}(SO(4))\to \pi _{3}(S^{3})\to \\\to &\pi _{2}(SO(3))\to \pi _{2}(SO(4))\to \pi _{2}(S^{3})\to \cdots \\\end{aligned}}}$

Ya que tenemos . Además, la fila del medio da, ya que el mapa de conexión es trivial. Además, podemos saber que tiene dos torsiones.${\displaystyle \pi _{2}(S^{3})=0}$${\displaystyle \pi _{2}(SO(4))=0}$${\displaystyle \pi _{3}(SO(4))\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$${\displaystyle \pi _{4}(S^{3})=\mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} =\pi _{3}(\mathbb {RP} ^{3})}$${\displaystyle \pi _{4}(SO(4))}$

Aplicación a paquetes de esferas

Milnor ^[5] usó el hecho para clasificar paquetes de 3 esferas , en particular, fue capaz de encontrar esferas exóticas que son variedades suaves llamadas esferas de Milnor solo homeomorfas , no difeomórficas . Tenga en cuenta que cualquier paquete de esfera puede ser construido a partir de una - Vector haz , que tienen grupo estructura ya puede tener la estructura de un orientado variedad de Riemann .${\displaystyle \pi _{3}(SO(4))=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$${\displaystyle S^{4}}$${\displaystyle S^{7}}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle SO(4)}$${\displaystyle S^{3}}$

Espacio proyectivo complejo

Hay una fibracion

${\displaystyle S^{1}\to S^{2n-1}\to \mathbb {CP} ^{n}}$

¿Dónde está la esfera unitaria ? Esta secuencia se puede utilizar para mostrar la conexión simple de para todos .${\displaystyle S^{2n-1}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle n}$

Métodos de cálculo

El cálculo de grupos de homotopía es en general mucho más difícil que algunos de los otros invariantes de homotopía aprendidos en topología algebraica. A diferencia del teorema de Seifert-van Kampen para el grupo fundamental y el teorema de la escisión para la homología y cohomología singulares , no existe una forma sencilla conocida de calcular los grupos de homotopía de un espacio dividiéndolo en espacios más pequeños. Sin embargo, los métodos desarrollados en la década de 1980 que implican un teorema de tipo de van Kampen para grupos de homotopía superior han permitido nuevos cálculos sobre tipos de homotopía y otros grupos de homotopía. Para obtener un resultado de muestra, consulte el artículo de 2010 de Ellis y Mikhailov. ^[6]

Para algunos espacios, como tori , todos los grupos de homotopía superior (es decir, el segundo y el grupo de homotopía superior) son triviales . Estos son los denominados espacios asféricos . Sin embargo, a pesar de la intensa investigación en el cálculo de los grupos homotópicos de esferas, incluso en dos dimensiones no se conoce una lista completa. Para calcular incluso el cuarto grupo de homotopía de S ^2, se necesitan técnicas mucho más avanzadas de lo que podrían sugerir las definiciones. En particular, la secuencia espectral de Serre se construyó precisamente con este propósito.

Ciertos grupos de homotopía de espacios n conectados se pueden calcular mediante la comparación con grupos de homología mediante el teorema de Hurewicz .

Una lista de métodos para calcular grupos de homotopía

• La secuencia larga exacta de los grupos homotópicos de una fibración.
• Teorema de Hurewicz , que tiene varias versiones.
• Teorema de Blakers-Massey , también conocido como escisión de grupos de homotopía.
• Teorema de suspensión de Freudenthal , un corolario de la escisión de grupos homotópicos

Grupos de homotopía relativa

También hay una generalización útil de los grupos de homotopía , llamados grupos de homotopía relativa para un par , donde A es un subespacio de X.${\displaystyle \pi _{n}(X)}$${\displaystyle \pi _{n}(X,A)}$${\displaystyle (X,A)}$

La construcción está motivada por la observación de que para una inclusión , existe un mapa inducido en cada grupo de homotopía que en general no es una inyección. De hecho, los elementos del núcleo se conocen considerando un representante y tomando una homotopía basada en el mapa constante , o en otras palabras , mientras que la restricción a cualquier otro componente de frontera de es trivial. Por tanto, tenemos la siguiente construcción:${\displaystyle i\colon (A,x_{0})\hookrightarrow (X,x_{0})}$${\displaystyle i_{*}\colon \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)}$${\displaystyle f\colon I^{n}\to X}$${\displaystyle F\colon I^{n}\times I\to X}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle H_{I^{n}\times 1}=f}$${\displaystyle I^{n+1}}$

Los elementos del grupo a tales clases de homotopía de mapas basados que llevan el límite en una . Dos mapas f, g se denominan homotópicos en relación con A si son homotópicos por una homotopía que conserva el punto base F  : D ⁿ × [0, 1] → X tal que, para cada p en S ^{n −1} y t en [0, 1], el elemento de F ( p ,  t ) está en a . Tenga en cuenta que los grupos de homotopía ordinarios se recuperan para el caso especial en el que es el punto base.${\displaystyle D^{n}\to X}$${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle A=x_{0}}$

Estos grupos son abelianos para n ≥ 3 pero para n = 2 forman el grupo superior de un módulo cruzado con el grupo inferior π ₁ ( A ).

También hay una larga secuencia exacta de grupos de homotopía relativa que se pueden obtener a través de la secuencia Puppe :

${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)\to \pi _{n}(X,A)\to \pi _{n-1}(A)\to \cdots }$

Nociones relacionadas

Los grupos de homotopía son fundamentales para la teoría de la homotopía , que a su vez estimuló el desarrollo de categorías modelo . Es posible definir grupos de homotopía abstractos para conjuntos simpliciales .

Los grupos de homología son similares a los grupos de homotopía en que pueden representar "huecos" en un espacio topológico. Sin embargo, los grupos de homotopía no suelen ser conmutativos y, a menudo, son muy complejos y difíciles de calcular. Por el contrario, los grupos de homología son conmutativos (al igual que los grupos de homotopía superior). Por tanto, a veces se dice que "la homología es una alternativa conmutativa a la homotopía". ^[7] Dado un espacio topológico X , su n -ésimo grupo de homotopía generalmente se denota por , y su n -ésimo grupo de homología generalmente se denota por .${\displaystyle \pi _{n}(X)}$${\displaystyle H_{n}(X)}$

Ver también

• Fibracion
• Fibra de Hopf
• Invariante de Hopf
• Teoría del nudo
• Clase de homotopía
• Grupos de esferas de homotopía
• Invariante topológico
• Grupo de homotopía con coeficientes
• Conjunto puntiagudo

Notas

1. Marie Ennemond Camille Jordan
2. Para una prueba de esto, tenga en cuenta que en dos dimensiones o más, dos homotopías se pueden "rotar" una alrededor de la otra. Véase el argumento de Eckmann-Hilton .
3. ver lasección 4.1 de Libros de Allen Hatcher # .
4. Husemoller. Paquetes de fibra . pag. 89.
5. Milnor, John (1956). "Sobre variedades homeomorfas a las 7 esferas". Annals of Mathematics . 64 : 399–405.
6. Ellis, Graham J .; Mikhailov, Roman (2010). "Un colimito de clasificar espacios". Avances en Matemáticas . 223 (6): 2097–2113. arXiv : 0804.3581 . doi : 10.1016 / j.aim.2009.11.003 . Señor 2601009 . 
7. Wildberger, Nueva Jersey (2012). "Una introducción a la homología" .

Referencias

• Ronald Brown , "Groupoids y objetos cruzados en topología algebraica", Homología, Homotopía y Aplicaciones , 1 (1999) 1-78.
• Ronald Brown , Philip J. Higgins, Rafael Sivera, topología algebraica no beliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupos de homotopía cúbica , EMS Tracts in Mathematics vol. 15, 703 páginas, European Math. Society, Zúrich, 2011. doi : 10.4171 / 083 MR 2841564
• Čech, Eduard (1932), "Höherdimensionale Homotopiegruppen", Verhandlungen des Internationalen Mathematikerkongress, Zürich.
• Hatcher, Allen (2002), topología algebraica , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79540-1
• "Grupo de homotopía" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Hopf, Heinz (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche" , Mathematische Annalen , 104 (1): 637–665, doi : 10.1007 / BF01457962.
• Kamps, Klaus H .; Porter, Timothy (1997). Homotopía abstracta y teoría de homotopía simple . River Edge, Nueva Jersey: World Scientific Publishing. doi : 10.1142 / 9789812831989 . ISBN 981-02-1602-5. Señor  1464944 .
• Toda, Hiroshi (1962). Métodos de composición en grupos homotópicos de esferas . Anales de estudios matemáticos. 49 . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-09586-8. Señor  0143217 .
• Whitehead, George William (1978). Elementos de la teoría de la homotopía . Textos de Posgrado en Matemáticas. 61 (3ª ed.). Nueva York-Berlín: Springer-Verlag. págs. xxi + 744. ISBN 978-0-387-90336-1. Señor  0516508 .