En geometría proyectiva , una transformación conforme especial es una transformación fraccional lineal que no es una transformación afín . Por lo tanto, la generación de una transformación conforme especial implica el uso de inversión multiplicativa , que es el generador de transformaciones fraccionarias lineales que no es afín.
En física matemática , ciertos mapas conformes conocidos como transformaciones de ondas esféricas son transformaciones conformes especiales .
Presentación vectorial
Se puede escribir una transformación conforme especial [1]
Es una composición de una inversión ( x μ → x μ / x 2 = y μ ), una traslación ( y μ → y μ - b μ = z μ ) y otra inversión ( z μ → z μ / z 2 = x ′ μ ) tal que:
Su generador infinitesimal es
Presentación alternativa
La inversión también puede ser tomado [2] para ser inversión multiplicativo de biquaternions B . El álgebra compleja B se puede extender a P ( B ) a través de la línea proyectiva sobre un anillo . Las homografías en P (B) incluyen traducciones:
El grupo de homografía G ( B ) incluye conjugados de traducción por inversión:
La matriz describe la acción de una transformación conforme especial.
Referencias
- ^ Di Francesco; Mathieu, Sénéchal (1997). Teoría de campos conformados . Textos de posgrado en física contemporánea. Saltador. págs. 97–98. ISBN 978-0-387-94785-3.
- ^ Arthur Conway (1911) "Sobre la aplicación de cuaterniones a algunos desarrollos recientes de la teoría eléctrica", Actas de la Royal Irish Academy 29: 1-9, en particular la página 9