En matemáticas, la desigualdad de Babenko-Beckner (después de K. Ivan Babenko y William E. Beckner ) es una forma agudizada de la desigualdad de Hausdorff-Young que tiene aplicaciones a los principios de incertidumbre en el análisis de Fourier de espacios L p . La ( q , p ) -norm de la transformada n- dimensional de Fourier se define como [1]
En 1961, Babenko [2] encontró esta norma para valores enteros pares de q . Finalmente, en 1975, utilizando funciones de Hermite como funciones propias de la transformada de Fourier, Beckner [3] demostró que el valor de esta norma para todos es
Así tenemos la desigualdad de Babenko-Beckner que
Para escribir esto explícitamente, (en el caso de una dimensión,) si la transformada de Fourier está normalizada de modo que
entonces nosotros tenemos
o más simplemente
Principales ideas de prueba
A lo largo de este bosquejo de una prueba,
(Excepto por q , seguiremos más o menos la notación de Beckner).
El lema de los dos puntos
Dejar ser la medida discreta con peso en los puntos Entonces el operador
mapas a con norma 1; es decir,
o más explícitamente,
para cualquier complejo a , b . (Ver el artículo de Beckner para la prueba de su "lema de dos puntos").
Una secuencia de ensayos de Bernoulli
La medida que se introdujo anteriormente es en realidad un ensayo de Bernoulli justo con media 0 y varianza 1. Considere la suma de una secuencia de n ensayos de Bernoulli, independientes y normalizados de modo que la desviación estándar sigue siendo 1. Obtenemos la medidaque es la n- convolución deconsigo mismo. El siguiente paso es extender el operador C definido en el espacio de dos puntos anterior a un operador definido en el espacio de ( n + 1) puntos decon respecto a los polinomios simétricos elementales .
Convergencia a la distribución normal estándar
La secuencia converge débilmente a la distribución de probabilidad normal estándar con respecto a funciones de crecimiento polinomial. En el límite, la extensión del operador C anterior en términos de los polinomios simétricos elementales con respecto a la medidase expresa como un operador T en términos de los polinomios de Hermite con respecto a la distribución normal estándar. Estas funciones de Hermite son las funciones propias de la transformada de Fourier, y la ( q , p ) -norm de la transformada de Fourier se obtiene como resultado después de alguna renormalización.
Ver también
Referencias
- ^ Iwo Bialynicki-Birula. Formulación de las relaciones de incertidumbre en términos de las entropías de Renyi. arXiv: quant-ph / 0608116v2
- ^ KI Babenko. Una desigualdad en la teoría de las integrales de Fourier. Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Estera. 25 (1961) págs. 531–542 Traducción inglesa, Amer. Matemáticas. Soc. Transl. (2) 44 , págs. 115-128
- ^ W. Beckner, Desigualdades en el análisis de Fourier. Annals of Mathematics, vol. 102, núm. 6 (1975) págs. 159-182.