En la teoría de la probabilidad y la estadística , un ensayo de Bernoulli (o ensayo binomial ) es un experimento aleatorio con exactamente dos resultados posibles , "éxito" y "fracaso", en el que la probabilidad de éxito es la misma cada vez que se realiza el experimento. [1] Lleva el nombre de Jacob Bernoulli , un matemático suizo del siglo XVII, que los analizó en su Ars Conjectandi (1713). [2]
La formalización matemática del ensayo de Bernoulli se conoce como proceso de Bernoulli . Este artículo ofrece una introducción elemental al concepto, mientras que el artículo sobre el proceso de Bernoulli ofrece un tratamiento más avanzado.
Dado que un ensayo de Bernoulli tiene solo dos resultados posibles, se puede enmarcar como una pregunta de "sí o no". Por ejemplo:
- ¿Es la carta superior de una baraja barajada un as?
- ¿El recién nacido era una niña? (Ver proporción de sexos humanos ).
Por lo tanto, el éxito y el fracaso son simplemente etiquetas para los dos resultados y no deben interpretarse literalmente. El término "éxito" en este sentido consiste en que el resultado cumpla condiciones específicas, no en ningún juicio moral. De manera más general, dado cualquier espacio de probabilidad , para cualquier evento (conjunto de resultados), se puede definir un ensayo de Bernoulli, correspondiente a si el evento ocurrió o no (evento o evento complementario ). Ejemplos de ensayos de Bernoulli incluyen:
- Lanzar una moneda. En este contexto, el anverso ("cara") denota convencionalmente éxito y el reverso ("cruz") denota fracaso. Una moneda justa tiene una probabilidad de éxito de 0,5 por definición. En este caso, hay exactamente dos resultados posibles.
- Lanzar un dado , donde un seis es "éxito" y todo lo demás un "fracaso". En este caso, hay seis resultados posibles y el evento es un seis; el evento complementario "no un seis" corresponde a los otros cinco resultados posibles.
- Al realizar una encuesta de opinión política , elegir un votante al azar para determinar si ese votante votará "sí" en un próximo referéndum.
Definición
Los ensayos independientes repetidos de un experimento con exactamente dos resultados posibles se denominan ensayos de Bernoulli. Llame a uno de los resultados "éxito" y al otro resultado "fracaso". Dejar ser la probabilidad de éxito en un ensayo de Bernoulli, y sea la probabilidad de falla. Entonces, la probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso suman uno, ya que estos son eventos complementarios: "éxito" y "fracaso" son mutuamente excluyentes y exhaustivos . Así uno tiene las siguientes relaciones:
Alternativamente, estos pueden expresarse en términos de probabilidades : dada la probabilidad p de éxito yq de fracaso, las probabilidades de sony las probabilidades en contra son Estos también se pueden expresar como números, dividiendo, obteniendo las probabilidades de, , y las probabilidades en contra, ,
Estos son inversos multiplicativos , por lo que se multiplican a 1, con las siguientes relaciones:
En el caso de que un ensayo de Bernoulli represente un evento de un número finito de resultados igualmente probables , donde S de los resultados son exitosos y F de los resultados son fallidos, las probabilidades de son y las probabilidades en contra son Esto produce las siguientes fórmulas de probabilidad y probabilidades:
Tenga en cuenta que aquí las probabilidades se calculan dividiendo el número de resultados, no las probabilidades, pero la proporción es la misma, ya que estas razones solo difieren al multiplicar ambos términos por el mismo factor constante.
Las variables aleatorias que describen los ensayos de Bernoulli a menudo se codifican utilizando la convención de que 1 = "éxito", 0 = "fracaso".
Estrechamente relacionado con un ensayo de Bernoulli hay un experimento binomial, que consta de un número fijo de ensayos de Bernoulli estadísticamente independientes , cada uno con una probabilidad de éxitoy cuenta el número de éxitos. Una variable aleatoria correspondiente a un binomio se denota por, y se dice que tiene una distribución binomial . La probabilidad de exactamente éxitos en el experimento es dado por:
dónde es un coeficiente binomial .
Los ensayos de Bernoulli también pueden conducir a distribuciones binomiales negativas (que cuentan el número de éxitos en una serie de ensayos de Bernoulli repetidos hasta que se observa un número específico de fracasos), así como otras distribuciones.
Cuando se realizan varios ensayos de Bernoulli, cada uno con su propia probabilidad de éxito, a veces se los denomina ensayos de Poisson . [3]
Ejemplo: lanzar monedas
Considere el sencillo experimento en el que se lanza una moneda al aire cuatro veces. Encuentre la probabilidad de que exactamente dos de los lanzamientos resulten en cara.
Solución
Para este experimento, definamos cara como un éxito y cruz como un fracaso. Debido a que se supone que la moneda es justa, la probabilidad de éxito es. Por lo tanto, la probabilidad de falla,, es dado por
- .
Usando la ecuación anterior, la probabilidad de exactamente dos lanzamientos de cuatro lanzamientos totales que resulten en cara viene dada por:
Ver también
Referencias
- ^ Papoulis, A. (1984). "Ensayos de Bernoulli". Probabilidad, variables aleatorias y procesos estocásticos (2ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill . págs. 57–63.
- ^ James Victor Uspensky: Introducción a la probabilidad matemática , McGraw-Hill, Nueva York 1937, página 45
- ^ Rajeev Motwani y P. Raghavan. Algoritmos aleatorios. Cambridge University Press, Nueva York (NY), 1995, p. 67-68
enlaces externos
- "Ensayos de Bernoulli" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- "Simulación de n ensayos de Bernoulli" . math.uah.edu . Consultado el 21 de enero de 2014 .