En la teoría matemática de conjuntos , el axioma de Baumgartner (BA) puede ser uno de los tres axiomas diferentes introducidos por James Earl Baumgartner .
Se dice que un subconjunto de la línea real es- denso si cada dos puntos están separados exactamente por otros puntos, donde es la cardinalidad incontable más pequeña . Esto sería cierto para la línea real en sí bajo la hipótesis del continuo . Un axioma introducido por Baumgartner (1973) establece que todos- los subconjuntos densos de la línea real son de orden isomórfico , lo que proporciona un análogo de cardinalidad superior al teorema de isomorfismo de Cantor de que los subconjuntos densos contables son isomorfos. El axioma de Baumgartner es una consecuencia del axioma de forzamiento adecuado . Es consistente con una combinación de ZFC , el axioma de Martin y la negación de la hipótesis del continuo , [1] pero no está implícito en esas hipótesis. [2]
Otro axioma introducido por Baumgartner (1975) establece que el axioma de Martin para conjuntos parcialmente ordenados MA P ( κ ) es cierto para todos los conjuntos parcialmente ordenados P que son contables cerrados, bien cumplidos y ℵ 1- vinculados y todos los cardinales κ menores que 2 ℵ 1 .
El axioma A de Baumgartner es un axioma para conjuntos parcialmente ordenados introducido en ( Baumgartner 1983 , sección 7). Se dice que un orden parcial ( P , ≤) satisface el axioma A si hay una familia ≤ n de ordenamientos parciales en P para n = 0, 1, 2, ... tal que
- ≤ 0 es lo mismo que ≤
- Si p ≤ n +1 q entonces p ≤ n q
- Si hay una secuencia p n con p n +1 ≤ n p n entonces hay una q con q ≤ n p n para todo n .
- Si I es un subconjunto incompatible por pares de P, entonces para todo p y para todos los números naturales n hay una q tal que q ≤ n p y el número de elementos de I compatibles con q son contables.
Referencias
- ^ Baumgartner, James E. (1973), "Todos-los conjuntos densos de reales pueden ser isomórficos ", Fundamenta Mathematicae , 79 (2): 101-106, doi : 10.4064 / fm-79-2-101-106 , MR 0317934
- ^ Avraham, Uri; Shelah, Saharon (1981), "el axioma de Martin no implica que cada dos-los conjuntos densos de reales son isomórficos ", Israel Journal of Mathematics , 38 (1–2): 161-176, doi : 10.1007 / BF02761858 , MR 0599485
- Baumgartner, James E. (1975), Generalizando el axioma de Martin , manuscrito inédito
- Baumgartner, James E. (1983), "Forzamiento iterado" , en Mathias, ARD (ed.), Encuestas en teoría de conjuntos , London Math. Soc. Lecture Note Ser., 87 , Cambridge: Cambridge Univ. Prensa, págs. 1–59, ISBN 0-521-27733-7, MR 0823775
- Kunen, Kenneth (2011), Teoría de conjuntos , Estudios de lógica, 34 , Londres: Publicaciones universitarias, ISBN 978-1-84890-050-9, MR 2905394 , Zbl 1262.03001