En el campo matemático de la teoría de conjuntos , el axioma de forzamiento adecuado ( PFA ) es un fortalecimiento significativo del axioma de Martin , donde los forzamientos con la condición de cadena contable (ccc) son reemplazados por forzamientos adecuados.
Declaración
Un conjunto P forzado o parcialmente ordenado es apropiado si para todos los cardenales incontables regulares , forzar con P conserva subconjuntos estacionarios de.
El axioma de forzamiento adecuado afirma que si P es adecuado y D α es un subconjunto denso de P para cada α <ω 1 , entonces hay un filtro GP tal que D α ∩ G no está vacío para todo α <ω 1 .
La clase de forzamientos adecuados a los que se puede aplicar PFA es bastante amplia. Por ejemplo, los argumentos estándar muestran que si P es ccc o ω-cerrado , entonces P es apropiado. Si P es una iteración de apoyo contable de forzamientos adecuados, entonces P es adecuado. Fundamentalmente, todos los forzamientos adecuados conservan.
Consecuencias
PFA implica directamente su versión para forzamientos ccc, axioma de Martin . En aritmética cardinal , PFA implica. PFA implica dos-los subconjuntos densos de R son isomorfos, [1] cualesquiera dos árboles Aronszajn son club-isomorfos, [2] y cada automorfismo del álgebra booleana / fin es trivial. [3] PFA implica que la Hipótesis de los Cardenales Singulares es válida. Una consecuencia especialmente notable demostrada por John R. Steel es que el axioma de determinación se cumple en L (R) , el modelo interno más pequeño que contiene los números reales. Otra consecuencia es el fracaso de los principios de cuadratura y, por tanto, la existencia de modelos internos con muchos cardenales de Woodin .
Fuerza de consistencia
Si hay un cardinal supercompacto , entonces hay un modelo de teoría de conjuntos en el que se sostiene PFA. La prueba utiliza el hecho de que los forzamientos adecuados se conservan bajo iteración de soporte contable, y el hecho de que sies supercompacto, entonces existe una función Laver para.
Todavía no se sabe cuánta fuerza cardinal grande proviene de PFA.
Otros axiomas de forzamiento
El axioma de forzamiento propio acotado (BPFA) es una variante más débil de PFA que, en lugar de subconjuntos densos arbitrarios, se aplica solo a antichains máximos de tamaño ω 1 . El máximo de Martin es la versión más fuerte posible de un axioma de forzamiento.
Forzar axiomas son candidatos viables para extender los axiomas de la teoría de conjuntos como una alternativa a los grandes axiomas cardinales .
El teorema fundamental del forzamiento adecuado
El teorema fundamental del forzamiento adecuado, debido a Shelah , establece que cualquier iteración de apoyo contable de forzamientos adecuados es en sí misma adecuada. Esto se sigue del Lema de iteración adecuada, que establece que siempre que es un soporte contable que obliga a la iteración en función de y es una subestructura elemental contable de para un cardenal regular suficientemente grande , y y y es -generico y fuerzas ", "entonces existe tal que es -generic y la restricción de a es igual a y fuerza la restricción de a ser más fuerte o igual a .
Esta versión del Lema de iteración adecuada, en la que el nombre no se supone que esté en , se debe a Schlindwein. [4]
El lema de iteración adecuada se demuestra mediante una inducción bastante sencilla en , y el teorema fundamental del forzamiento adecuado sigue tomando .
Ver también
Referencias
- ↑ Moore (2011)
- ^ Abraham, U., y Shelah, S., Tipos de isomorfismo de árboles Aronszajn (1985) Israel Journal of Mathematics (50) 75-113
- ↑ Moore (2011)
- ^ Schlindwein, C., "Consistencia de la hipótesis de Suslin, un árbol de Aronszajn no especial y GCH", (1994), Journal of Symbolic Logic (59) págs. 1 - 29
- Jech, Thomas (2002). Teoría de conjuntos (Tercer milenio (revisada y ampliada) ed.). Saltador. doi : 10.1007 / 3-540-44761-X . ISBN 3-540-44085-2. Zbl 1007.03002 .
- Kunen, Kenneth (2011). Teoría de conjuntos . Estudios de lógica. 34 . Londres: Publicaciones universitarias. ISBN 978-1-84890-050-9. Zbl 1262.03001 .
- Moore, Justin Tatch (2011). "Lógica y fundamentos: el axioma de forzamiento adecuado". En Bhatia, Rajendra (ed.). Actas del congreso internacional de matemáticos (ICM 2010), Hyderabad, India, 19 al 27 de agosto de 2010. Vol. II: Conferencias invitadas (PDF) . Hackensack, Nueva Jersey: World Scientific. págs. 3–29. ISBN 978-981-4324-30-4. Zbl 1258.03075 .
- Acero, John R. (2005). "PFA implica AD ^ L (R)". Revista de lógica simbólica . 70 (4): 1255-1296. doi : 10.2178 / jsl / 1129642125 .