Máquina de frijoles

La máquina de frijoles , también conocida como tablero de Galton o quincunx , es un dispositivo inventado por Sir Francis Galton [1] para demostrar el teorema del límite central , en particular que con un tamaño de muestra suficiente, la distribución binomial se aproxima a una distribución normal . Entre sus aplicaciones, proporcionó información sobre la regresión a la media o "regresión a la mediocridad".

Máquina de frijoles
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Demostración de una caja de Galton

El tablero Galton consiste en un tablero vertical con filas de clavijas intercaladas. Las cuentas se dejan caer desde la parte superior y, cuando el dispositivo está nivelado, rebotan hacia la izquierda o hacia la derecha cuando golpean las clavijas. Finalmente, se recogen en contenedores en la parte inferior, donde la altura de las columnas de cuentas acumuladas en los contenedores se aproxima a una curva de campana . La superposición del triángulo de Pascal en los pines muestra la cantidad de caminos diferentes que se pueden tomar para llegar a cada contenedor. [2]

Los modelos de trabajo a gran escala de este dispositivo creados por Charles y Ray Eames se pueden ver en las exhibiciones Mathematica: A World of Numbers ... and Beyond permanentemente expuestas en el Museo de Ciencias de Boston , el Salón de la Ciencia de Nueva York o el Museo Henry Ford . [3] Otra versión a gran escala se muestra en el vestíbulo de Index Fund Advisors en Irvine, California. [4]

Las máquinas de frijoles se pueden construir para otras distribuciones cambiando la forma de los pasadores o inclinándolos hacia una dirección, e incluso son posibles las máquinas de frijoles bimodales. [5] Una máquina de frijoles para la distribución log-normal (común en muchos procesos naturales , particularmente los biológicos), que usa triángulos isósceles de diferentes anchos para 'multiplicar' la distancia que recorre la cuenta en lugar de pasos de tamaños fijos que 'sumarían' , fue construido por Jacobus Kapteyn mientras estudiaba y popularizaba las estadísticas del log-normal para ayudar a visualizarlo y demostrar su plausibilidad. [6] A partir de 1963, se conservó en la Universidad de Groningen . [7] Una máquina de frijoles logarítmica normal mejorada, que utiliza triángulos sesgados, que evita desplazar la mediana de las cuentas hacia la izquierda. [8]

Si una cuenta rebota hacia la derecha k veces en su camino hacia abajo (y hacia la izquierda en las clavijas restantes), termina en el k- ésimo recipiente contando desde la izquierda. Denotando el número de filas de clavijas en un tablero de Galton por n , el número de caminos al k- ésimo contenedor en la parte inferior viene dado por el coeficiente binomial . Tenga en cuenta que el bin más a la izquierda es el 0 -bin, junto a él está el 1 -bin, etc. y el más a la derecha es el n -bin, lo que hace que el número total de bins sea igual a n + 1 (cada fila no necesita tener más clavijas que el número que identifica la fila en sí, por ejemplo, la primera fila tiene 1 clavija, la segunda 2 clavijas, hasta la n -ésima fila que tiene n clavijas que corresponden a los n + 1 bins). Si la probabilidad de rebotar directamente en una clavija es p (que es igual a 0.5 en una máquina de nivel insesgado), la probabilidad de que la pelota termine en el k- ésimo bin es igual a. Esta es la función de masa de probabilidad de una distribución binomial . El número de filas corresponde al tamaño de una distribución binomial en número de intentos, mientras que la probabilidad p de cada pin es la p del binomio .

De acuerdo con el teorema del límite central (más específicamente, el teorema de Moivre-Laplace ), la distribución binomial se aproxima a la distribución normal siempre que el número de filas y el número de bolas sean grandes. Variar las filas dará como resultado diferentes desviaciones estándar o anchos de la curva en forma de campana o la distribución normal en los contenedores.

  • Tablero Galton (7.5 in por 4.5 in)

  • Antes y después del giro

  • Una réplica funcional de la máquina (siguiendo un diseño ligeramente modificado)

  • La máquina de frijoles, dibujada por Sir Francis Galton

Sir Francis Galton estaba fascinado con el orden de la curva de la campana que emerge del aparente caos de cuentas que rebotan en las clavijas del tablero de Galton. Describió elocuentemente esta relación en su libro Herencia natural (1889):

Orden en el Caos Aparente: No conozco nada tan apto para impresionar a la imaginación como la maravillosa forma de orden cósmico expresada por la Ley de Frecuencia del Error. La ley habría sido personificada por los griegos y divinizada, si la hubieran conocido. Reina con serenidad y con total modestia en medio de la confusión más salvaje. Cuanto más grande es la mafia y mayor la aparente anarquía, más perfecta es su influencia. Es la ley suprema de la sinrazón. Siempre que se toma una gran muestra de elementos caóticos y se ordena en el orden de su magnitud, una forma de regularidad insospechada y más hermosa demuestra haber estado latente todo el tiempo. [1] : 66

Se han desarrollado varios juegos utilizando la idea de que los pines cambien la ruta de las bolas u otros objetos:

  1. ↑ a b Galton, Sir Francis (1894). Herencia natural . Macmillan.ISBN  978-1297895982
  2. ^ "La Junta de Galton" . www.galtonboard.com . Cuatro Pines Publishing, Inc . Consultado el 6 de marzo de 2018 .
  3. ^ "El museo Henry Ford adquiere la exhibición de Mathematica de Eames" . Noticias de la Central de Subastas . LiveAuctioneers. 20 de marzo de 2015 . Consultado el 6 de marzo de 2018 .
  4. ^ "IFA.tv - del caos al orden en el tablero de Galton - un caminante al azar" . 23 de diciembre de 2009 . Consultado el 6 de marzo de 2018 .
  5. ^ Brehmer et al 2018, "Extracción de oro a partir de modelos implícitos para mejorar la inferencia libre de probabilidades" : "Ejemplo de minería de simulador"
  6. ^ Kapteyn 1903, Curvas de frecuencia sesgadas en biología y estadística v1 ; Kapteyn & van Uven 1916, curvas de frecuencia sesgadas en biología y estadística v2
  7. ↑ Aitchison & Brown 1963, The Lognormal Distribution, con especial referencia a sus usos en economía. Archivado el 2 de agosto de 2019 en Wayback Machine.
  8. ^ Limpert et al 2001, "Distribuciones logarítmicas normales en las ciencias: claves y pistas"

  • Sitio web informativo de la Junta de Galton con enlaces a recursos
  • Una máquina de probabilidad de 2,4 m (8 pies) de altura (llamada Sir Francis) que compara los rendimientos del mercado de valores con la aleatoriedad de los granos que caen a través del patrón de quincunx. de Index Fund Advisors IFA.com
  • Quincunx y su relación con la distribución normal de Math Is Fun
  • Una simulación de máquina de frijoles de varias etapas (JS)
  • Pascal's Marble Run: una tabla determinista de Galton
  • Máquina de frijoles log-normal ( animación )
  • Un video musical con un tablero de Galton de Carl McTague