El enfoque conductual de la teoría de sistemas y la teoría de control fue iniciado a fines de la década de 1970 por JC Willems como resultado de resolver las inconsistencias presentes en los enfoques clásicos basados en el espacio de estados, la función de transferencia y las representaciones de convolución. Este enfoque también está motivado por el objetivo de obtener un marco general para el análisis y control de sistemas que respete la física subyacente .
El objeto principal en el entorno conductual es el comportamiento: el conjunto de todas las señales compatibles con el sistema. Una característica importante del enfoque conductual es que no distingue una prioridad entre las variables de entrada y de salida. Además de poner la teoría y el control de sistemas sobre una base rigurosa, el enfoque conductual unificó los enfoques existentes y produjo nuevos resultados sobre la controlabilidad de los sistemas nD , el control mediante interconexión [1] y la identificación del sistema. [2]
Sistema dinámico como un conjunto de señales.
En el contexto conductual, un sistema dinámico es un triple
dónde
- es el "tiempo establecido": las instancias de tiempo en las que evoluciona el sistema,
- es el "espacio de señales" - el conjunto en el que las variables cuya evolución en el tiempo se modela toman sus valores, y
- el "comportamiento" - el conjunto de señales que son compatibles con las leyes del sistema
- ( denota el conjunto de todas las señales, es decir, funciones de dentro ).
significa que es una trayectoria del sistema, mientras que significa que las leyes del sistema prohíben la trayectoria que suceda. Antes de modelar el fenómeno, cada señal en se considera posible, mientras que después del modelado, solo los resultados en permanecen como posibilidades.
Casos especiales:
- - sistemas de tiempo continuo
- - sistemas de tiempo discreto
- - la mayoría de los sistemas físicos
- un conjunto finito - sistemas de eventos discretos
Sistemas diferenciales lineales invariantes en el tiempo
Las propiedades del sistema se definen en términos del comportamiento. El sistema se ha dicho
- "lineal" si es un espacio vectorial y es un subespacio lineal de ,
- "invariante en el tiempo" si el conjunto de tiempo consta de números reales o naturales y
- para todos ,
dónde denota el -shift, definido por
- .
En estas definiciones, la linealidad articula la ley de superposición , mientras que la invariancia en el tiempo articula que el desplazamiento en el tiempo de una trayectoria legal es a su vez una trayectoria legal.
Un "sistema diferencial lineal invariante en el tiempo" es un sistema dinámico cuyo comportamiento es el conjunto solución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de coeficiente constante , dónde es una matriz de polinomios con coeficientes reales. Los coeficientes deson los parámetros del modelo. Para definir el comportamiento correspondiente, necesitamos especificar cuándo consideramos una señal ser una solución de . Para facilitar la exposición, a menudo se consideran infinitas soluciones diferenciables. Hay otras posibilidades, como tomar soluciones distributivas, o soluciones en, y con las ecuaciones diferenciales ordinarias interpretadas en el sentido de distribuciones. El comportamiento definido es
Esta forma particular de representar el sistema se denomina "representación del núcleo" del sistema dinámico correspondiente. Hay muchas otras representaciones útiles del mismo comportamiento, incluida la función de transferencia, el espacio de estados y la convolución.
Para fuentes accesibles sobre el enfoque conductual, consulte [3] . [4]
Observabilidad de variables latentes
Una cuestión clave del enfoque conductual es si se puede deducir una cantidad w1 dada una cantidad observada w2 y un modelo . Si se puede deducir w1 dados w2 y el modelo, se dice que w2 es observable . En términos de modelado matemático, la cantidad o variable que se va a deducir a menudo se denomina variable latente y la variable observada es la variable manifiesta. Este sistema se denomina entonces sistema observable (variable latente).
Referencias
- ^ JC Willems Sobre interconexiones, control y retroalimentación IEEE Transactions on Automatic Control Volume 42, páginas 326-339, 1997 Disponible en línea http://homes.esat.kuleuven.be/~jwillems/Articles/JournalArticles/1997.4.pdf
- ^ I. Markovsky, JC Willems, B. De Moor y S. Van Huffel . Modelado exacto y aproximado de sistemas lineales: un enfoque conductual. Monografía 13 en “Modelado y computación matemáticos”, SIAM, 2006. Disponible en línea http://homepages.vub.ac.be/~imarkovs/siam-book.pdf
- ^ J. Polderman y JC Willems. "Introducción a la Teoría Matemática de Sistemas y Control". Springer-Verlag, Nueva York, 1998, xxii + 434 págs. Disponible en línea http://wwwhome.math.utwente.nl/~poldermanjw/onderwijs/DISC/mathmod/book.pdf .
- ^ JC Willems. El enfoque conductual de los sistemas abiertos e interconectados: modelado mediante desgarro, zoom y vinculación. "Control Systems Magazine", 27: 46–99, 2007. Disponible en línea en http://homes.esat.kuleuven.be/~jwillems/Articles/JournalArticles/2007.1.pdf .
Fuentes adicionales
- Paolo Rapisarda y Jan C.Willems, 2006. Desarrollos recientes en la teoría del sistema conductual , 24 al 28 de julio de 2006, MTNS 2006, Kyoto, Japón
- JC Willems. Terminales y puertos. Revista IEEE Circuits and Systems Volumen 10, número 4, páginas 8–16, diciembre de 2010
- JC Willems y HL Trentelman. Sobre formas diferenciales cuadráticas. Revista SIAM sobre Control y Optimización Volumen 36, páginas 1702-1749, 1998
- JC Willems. Paradigmas y acertijos en la teoría de sistemas dinámicos. Transacciones IEEE en el volumen de control automático 36, páginas 259-294, 1991
- JC Willems. Modelos de dinámica. Dynamics Reported Volumen 2, páginas 171-269, 1989