La controlabilidad es una propiedad importante de un sistema de control , y la propiedad de controlabilidad juega un papel crucial en muchos problemas de control, como la estabilización de sistemas inestables por retroalimentación o un control óptimo.
La controlabilidad y la observabilidad son aspectos duales del mismo problema.
A grandes rasgos, el concepto de controlabilidad denota la capacidad de mover un sistema en todo su espacio de configuración utilizando solo ciertas manipulaciones admisibles. La definición exacta varía ligeramente dentro del marco o el tipo de modelos aplicados.
Los siguientes son ejemplos de variaciones de las nociones de controlabilidad que se han introducido en la literatura de sistemas y control:
- Controlabilidad estatal
- Capacidad de control de salida
- Controlabilidad en el marco conductual
Controlabilidad estatal
El estado de un sistema determinista , que es el conjunto de valores de todas las variables de estado del sistema (aquellas variables caracterizadas por ecuaciones dinámicas), describe completamente el sistema en un momento dado. En particular, no se necesita información sobre el pasado de un sistema para ayudar a predecir el futuro, si se conocen los estados en el momento presente y se conocen todos los valores actuales y futuros de las variables de control (aquellos cuyos valores se pueden elegir).
La controlabilidad completa del estado (o simplemente la controlabilidad si no se da otro contexto) describe la capacidad de una entrada externa (el vector de variables de control) para mover el estado interno de un sistema desde cualquier estado inicial a cualquier estado final en un intervalo de tiempo finito. [1] : 737
Es decir, podemos definir informalmente la controlabilidad de la siguiente manera: si para algún estado inicial y un estado final existe una secuencia de entrada para transferir el estado del sistema desde a en un intervalo de tiempo finito, entonces el sistema modelado por la representación del espacio de estados es controlable. Para el ejemplo más simple de un sistema LTI continuo, la dimensión de fila de la expresión del espacio de estadodetermina el intervalo; cada fila aporta un vector en el espacio de estados del sistema. Si no hay suficientes tales vectores para abarcar el espacio de estados de, entonces el sistema no puede lograr controlabilidad. Puede ser necesario modificar y para aproximar mejor las relaciones diferenciales subyacentes que estima para lograr controlabilidad.
La controlabilidad no significa que se pueda mantener un estado alcanzado, simplemente que se puede alcanzar cualquier estado.
La controlabilidad no significa que se puedan hacer rutas arbitrarias a través del espacio de estados, solo que existe una ruta dentro del intervalo de tiempo finito prescrito.
Sistemas lineales continuos
Considere el sistema lineal continuo [nota 1]
Existe un control del estado en el momento a estado en el momento si y solo si está en el espacio de columna de
dónde es la matriz de transición de estado , yes el Gramiano de la controlabilidad .
De hecho, si es una solución para luego un control dado por haría la transferencia deseada.
Tenga en cuenta que la matriz definido como arriba tiene las siguientes propiedades:
- es simétrico
- es semidefinido positivo para
- satisface la ecuación diferencial de matriz lineal
- satisface la ecuación
Condición de rango para la controlabilidad
El Gramian de controlabilidad implica la integración de la matriz de transición de estado del sistema. Una condición más simple para la controlabilidad es una condición de rango análoga a la condición de rango de Kalman para sistemas invariantes en el tiempo.
Considere un sistema lineal de tiempo continuo variando suavemente en un intervalo de :
La matriz de transición de estado también es suave. Introducir la función con valores matriciales nxm y definir
- = .
Considere la matriz de funciones con valores de matriz obtenida al enumerar todas las columnas de la , :
.
Si existe un y un entero no negativo k tal que , luego es controlable. [3]
Si también varía analíticamente en un intervalo , luego es controlable en cada subintervalo no trivial de si y solo si existe un y un entero no negativo k tal que . [3]
Los métodos anteriores aún pueden ser complejos de verificar, ya que implican el cálculo de la matriz de transición de estado. . Otra condición equivalente se define como sigue. Dejar, y para cada , definir
- =
En este caso, cada se obtiene directamente de los datos El sistema es controlable si existe un y un entero no negativo tal que . [3]
Ejemplo
Considere un sistema que varía analíticamente en y matrices
, Luego y dado que esta matriz tiene rango 3, el sistema es controlable en cada intervalo no trivial de .
Sistemas continuos lineales invariantes en el tiempo (LTI)
Considere el sistema invariante en el tiempo lineal continuo
dónde
- es el "vector de estado",
- es el "vector de salida",
- es el "vector de entrada (o control)",
- es el "matriz de estado",
- es el "matriz de entrada",
- es el "matriz de salida",
- es el "matriz de avance (o avance)".
La La matriz de controlabilidad viene dada por
El sistema es controlable si la matriz de controlabilidad tiene rango de fila completo (es decir).
Sistemas discretos lineales invariantes en el tiempo (LTI)
Para un sistema de espacio de estados lineal de tiempo discreto (es decir, variable de tiempo) la ecuación de estado es
dónde es un matriz y es un matriz (es decir es insumos recolectados en un vector). La prueba de controlabilidad es que el matriz
tiene rango de fila completo (es decir,). Es decir, si el sistema es controlable, tendrá columnas linealmente independientes ; Si columnas de son linealmente independientes , cada uno de los estados es accesible dando al sistema entradas adecuadas a través de la variable .
Derivación
Dado el estado en un tiempo inicial, denotado arbitrariamente como k = 0, la ecuación de estado da luego y así sucesivamente con sustituciones inversas repetidas de la variable de estado, lo que finalmente produce
o equivalente
Imponer cualquier valor deseado del vector de estado en el lado izquierdo, esto siempre se puede resolver para el vector apilado de vectores de control si y solo si la matriz de matrices al comienzo del lado derecho tiene rango de fila completo.
Ejemplo
Por ejemplo, considere el caso cuando y (es decir, solo una entrada de control). Por lo tanto, y están vectores. Si tiene rango 2 (rango completo), por lo que y son linealmente independientes y abarcan todo el plano. Si el rango es 1, entonces y son colineales y no abarcan el plano.
Suponga que el estado inicial es cero.
En el momento :
En el momento :
En el momento todos los estados alcanzables están en la línea formada por el vector . En el momento todos los estados alcanzables son combinaciones lineales de y . Si el sistema es controlable, entonces estos dos vectores pueden abarcar todo el plano y pueden hacerlo por tiempo.. La suposición de que el estado inicial es cero es simplemente por conveniencia. Claramente, si todos los estados pueden alcanzarse desde el origen, entonces cualquier estado puede alcanzarse desde otro estado (simplemente un cambio de coordenadas).
Este ejemplo es válido para todos los aspectos positivos. , pero el caso de es más fácil de visualizar.
Analogía por ejemplo de n = 2
Considere una analogía con el sistema de ejemplo anterior. Estás sentado en tu coche en un plano infinito y plano y mirando al norte. El objetivo es llegar a cualquier punto del avión conduciendo una distancia en línea recta, detenerse por completo, girar y conducir otra distancia, nuevamente, en línea recta. Si su automóvil no tiene dirección, solo puede conducir en línea recta, lo que significa que solo puede conducir en una línea (en este caso, la línea norte-sur desde que comenzó a mirar hacia el norte). La falta de caso de dirección sería análoga a cuando el rango de es 1 (las dos distancias que condujo están en la misma línea).
Ahora, si su automóvil tuviera dirección, entonces podría conducir fácilmente a cualquier punto del avión y este sería el caso análogo a cuando el rango de es 2.
Si cambia este ejemplo a entonces la analogía sería volar en el espacio para alcanzar cualquier posición en el espacio 3D (ignorando la orientación de la aeronave ). Tienes permiso para:
- volar en línea recta
- girar a la izquierda o derecha en cualquier cantidad ( guiñada )
- dirigir el avión hacia arriba o hacia abajo en cualquier cantidad ( Pitch )
Aunque el caso tridimensional es más difícil de visualizar, el concepto de controlabilidad sigue siendo análogo.
Sistemas no lineales
Sistemas no lineales en forma de control afín
son accesibles localmente sobre si la distribución de la accesibilidad tramos espacio, cuando es igual al rango de y R viene dado por: [4]
Aquí, es la operación repetida del corchete de Lie definida por
De hecho, la matriz de controlabilidad para sistemas lineales de la sección anterior puede derivarse de esta ecuación.
Controlabilidad nula
Si un sistema de control discreto es controlable por nulos, significa que existe un control controlable. así que eso para un estado inicial . En otras palabras, es equivalente a la condición de que exista una matriz tal que es nilpotente.
Esto se puede demostrar fácilmente mediante una descomposición controlable-incontrolable.
Capacidad de control de salida
La controlabilidad de la salida es la noción relacionada con la salida del sistema (denotado y en las ecuaciones anteriores); la controlabilidad de la salida describe la capacidad de una entrada externa para mover la salida de cualquier condición inicial a cualquier condición final en un intervalo de tiempo finito. No es necesario que exista una relación entre la controlabilidad del estado y la controlabilidad de la salida. En particular:
- Un sistema controlable no es necesariamente controlable por salida. Por ejemplo, si la matriz D = 0 y la matriz C no tiene rango de fila completo, entonces algunas posiciones de la salida están enmascaradas por la estructura limitante de la matriz de salida y, por lo tanto, no se pueden lograr. Además, aunque el sistema se puede mover a cualquier estado en un tiempo finito, puede haber algunas salidas que sean inaccesibles para todos los estados. Un ejemplo numérico trivial usa D = 0 y una matriz C con al menos una fila de ceros; por lo tanto, el sistema no puede producir una salida distinta de cero a lo largo de esa dimensión.
- Un sistema de salida controlable no es necesariamente controlable por estado. Por ejemplo, si la dimensión del espacio de estado es mayor que la dimensión de la salida, habrá un conjunto de posibles configuraciones de estado para cada salida individual. Es decir, el sistema puede tener una dinámica cero significativa , que son trayectorias del sistema que no son observables desde la salida. En consecuencia, poder conducir una salida a una posición particular en un tiempo finito no dice nada sobre la configuración de estado del sistema.
Para un sistema lineal de tiempo continuo, como el ejemplo anterior, descrito por matrices , , , y , la matriz de controlabilidad de salida
tiene rango de fila completo (es decir, rango ) si y solo si el sistema tiene salida controlable. [1] : 742
Controlabilidad bajo restricciones de entrada
En sistemas con autoridad de control limitada, a menudo ya no es posible mover un estado inicial a un estado final dentro del subespacio controlable. Este fenómeno es causado por restricciones en la entrada que podrían ser inherentes al sistema (por ejemplo, debido a la saturación del actuador) o impuestas al sistema por otras razones (por ejemplo, debido a preocupaciones relacionadas con la seguridad). La controlabilidad de sistemas con restricciones de entrada y de estado se estudia en el contexto de la teoría de la accesibilidad [5] y la viabilidad . [6]
Controlabilidad en el marco conductual
En el llamado enfoque teórico del sistema conductual debido a Willems (ver personas en sistemas y control ), los modelos considerados no definen directamente una estructura de entrada-salida. En este marco, los sistemas se describen mediante trayectorias admisibles de una colección de variables, algunas de las cuales podrían interpretarse como entradas o salidas.
Entonces, un sistema se define como controlable en este entorno, si cualquier parte pasada de un comportamiento (trayectoria de las variables externas) se puede concatenar con cualquier trayectoria futura del comportamiento de tal manera que la concatenación esté contenida en el comportamiento, es decir es parte del comportamiento admisible del sistema. [7] : 151
Estabilizabilidad
Una noción ligeramente más débil que la de controlabilidad es la de estabilizabilidad . Se dice que un sistema es estabilizable cuando se puede hacer que todas las variables de estado incontrolables tengan una dinámica estable . Por lo tanto, aunque algunas de las variables de estado no se pueden controlar (según lo determinado por la prueba de capacidad de control anterior), todas las variables de estado seguirán estando limitadas durante el comportamiento del sistema. [8]
Conjunto alcanzable
Sea T ∈ Т yx ∈ X (donde X es el conjunto de todos los estados posibles y Т es un intervalo de tiempo). El conjunto alcanzable desde x en el tiempo T se define como: [9]
, donde xz denota que existe una transición de estado de xaz en el tiempo T.
Para sistemas autónomos, el conjunto alcanzable viene dado por:
- ,
donde R es la matriz de controlabilidad.
En términos del conjunto accesible, el sistema es controlable si y solo si .
Prueba de que tenemos las siguientes igualdades:
Considerando que el sistema es controlable, las columnas de R deben ser linealmente independientes . Entonces:
Un conjunto relacionado con el conjunto alcanzable es el conjunto controlable, definido por:
- .
Sontag presenta la relación entre accesibilidad y controlabilidad: [9]
(a) Un sistema lineal discreto n-dimensional es controlable si y solo si:
- (Donde X es el conjunto de todos los valores o estados posibles de xyk es el paso de tiempo).
(b) Un sistema lineal de tiempo continuo es controlable si y solo si:
- para todo e> 0.
si y solo si para todo e> 0.
Ejemplo Sea el sistema un sistema invariante en el tiempo discreto de n dimensiones a partir de la fórmula:
- Φ (n, 0,0, w) = (Donde se define Φ (tiempo final, tiempo inicial, variable de estado, restricciones) es la matriz de transición de una variable de estado x desde un tiempo inicial 0 a un tiempo final n con algunas restricciones w).
De ello se deduce que el estado futuro está en ⇔ está en la imagen del mapa lineal:
- Im (R) = R (A, B) ≜ Im ( ),
qué mapas,
- → X
Cuándo y identificamos R (A, B) con una matriz de nm cuyas columnas son las columnas de en ese orden. Si el sistema es controlable, el rango dees n. Si esto es cierto, la imagen del mapa lineal R es toda X. En base a eso, tenemos:
- con XЄ .
Ver también
- Observabilidad
- Observador estatal
Notas
- ^ Un sistema lineal invariante en el tiempo se comporta igual pero con coeficientes constantes en el tiempo.
Referencias
- ↑ a b Katsuhiko Ogata (1997). Ingeniería de Control Moderno (3ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-227307-7.
- ^ Brockett, Roger W. (1970). Sistemas lineales de dimensión finita . John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-10585-5.
- ^ a b c Eduardo D. Sontag, Teoría del control matemático: sistemas deterministas de dimensión finita .
- ^ Isidori, Alberto (1989). Sistemas de control no lineal , pág. 92–3. Springer-Verlag, Londres. ISBN 3-540-19916-0 .
- ^ Claire J. Tomlin; Ian Mitchell; Alexandre M. Bayen; Meeko Oishi (2003). "Técnicas computacionales para la verificación de sistemas híbridos" (PDF) . Actas del IEEE . 91 (7): 986–1001. CiteSeerX 10.1.1.70.4296 . doi : 10.1109 / jproc.2003.814621 . Consultado el 4 de marzo de 2012 .
- ^ Jean-Pierre Aubin (1991). Teoría de la viabilidad . Birkhauser. ISBN 978-0-8176-3571-8.
- ^ Jan Polderman; Jan Willems (1998). Introducción a la teoría de sistemas matemáticos: un enfoque conductual (1ª ed.). Nueva York: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98266-3.
- ^ Brian DO Anderson; John B. Moore (1990). Control óptimo: métodos cuadráticos lineales . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-638560-8.
- ^ a b Eduardo D. Sontag (2013). Teoría del control matemático: sistemas deterministas de dimensión finita . Springer Science & Business Media.
enlaces externos
- Función MATLAB para comprobar la controlabilidad de un sistema
- Función de Mathematica para verificar la controlabilidad de un sistema