La observabilidad es una medida de qué tan bien se pueden inferir los estados internos de un sistema a partir del conocimiento de sus salidas externas. En la teoría de control , la observabilidad y controlabilidad de un sistema lineal son duales matemáticos . El concepto de observabilidad fue introducido por el ingeniero húngaro-estadounidense Rudolf E. Kálmán para sistemas dinámicos lineales. [1] [2] Un sistema dinámico diseñado para estimar el estado de un sistema a partir de las mediciones de las salidas se denomina observador de estado o simplemente observador de ese sistema.
Definición
Considere un sistema físico modelado en representación de espacio de estados . Se dice que un sistema es observable si, para cualquier posible evolución de los vectores de estado y control , el estado actual puede estimarse utilizando solo la información de las salidas (físicamente, esto generalmente corresponde a la información obtenida por los sensores ). En otras palabras, se puede determinar el comportamiento de todo el sistema a partir de las salidas del sistema. Por otro lado, si el sistema no es observable, hay trayectorias de estado que no se pueden distinguir solo midiendo las salidas.
Sistemas lineales invariantes en el tiempo
Para sistemas lineales invariantes en el tiempo en la representación del espacio de estados, existen pruebas convenientes para verificar si un sistema es observable. Considere un sistema SISO convariables de estado (consulte el espacio de estado para obtener detalles sobre los sistemas MIMO ) dadas por
Matriz de observabilidad
Si el rango de fila de la matriz de observabilidad , definido como
es igual a , entonces el sistema es observable. El fundamento de esta prueba es que si filas son linealmente independientes, entonces cada una de las las variables de estado se pueden ver a través de combinaciones lineales de las variables de salida .
Conceptos relacionados
Índice de observabilidad
El índice de observabilidad de un sistema discreto invariante en el tiempo lineal es el número natural más pequeño para el que se cumple lo siguiente: , dónde
Subespacio no observable
El subespacio inobservable del sistema lineal es el núcleo del mapa lineal dado por [3]
dónde es el conjunto de funciones continuas de a . también se puede escribir como [3]
Dado que el sistema es observable si y solo si , el sistema es observable si y solo si es el subespacio cero.
Las siguientes propiedades para el subespacio no observable son válidas: [3]
Detectabilidad
Una noción un poco más débil que la observabilidad es detectabilidad . Un sistema es detectable si todos los estados no observables son estables. [4]
Las condiciones de detectabilidad son importantes en el contexto de las redes de sensores . [5] [6]
Sistemas lineales variables en el tiempo
Considere el sistema lineal continuo variable en el tiempo
Suponga que las matrices , y se dan así como entradas y salidas y para todos entonces es posible determinar dentro de un vector constante aditivo que se encuentra en el espacio nulo de definido por
dónde es la matriz de transición de estado .
Es posible determinar un único Si no es singular . De hecho, no es posible distinguir el estado inicial para de la de Si está en el espacio nulo de .
Tenga en cuenta que la matriz definido como arriba tiene las siguientes propiedades:
- es simétrico
- es semidefinido positivo para
- satisface la ecuación diferencial de matriz lineal
- satisface la ecuación
Generalización de la matriz de observabilidad
El sistema es observable en [,] si y solo si existe un intervalo [,] en tal que la matriz no es singular.
Si son analíticos, entonces el sistema es observable en el intervalo [,] si existe y un entero positivo k tal que [8]
dónde y se define recursivamente como
Ejemplo
Considere un sistema que varía analíticamente en y matrices
,
Luego , y dado que esta matriz tiene rango = 3, el sistema es observable en cada intervalo no trivial de .
Sistemas no lineales
Dado el sistema , . Dónde el vector de estado, el vector de entrada y el vector de salida. deben ser campos vectoriales suaves.
Definir el espacio de observación para ser el espacio que contiene todas las derivadas de Lie repetidas , entonces el sistema es observable en si y solo si .
Nota: [9]
Los primeros criterios de observabilidad en sistemas dinámicos no lineales fueron descubiertos por Griffith y Kumar, [10] Kou, Elliot y Tarn, [11] y Singh. [12]
Sistemas estáticos y espacios topológicos generales
La observabilidad también se puede caracterizar para sistemas de estado estacionario (sistemas típicamente definidos en términos de ecuaciones algebraicas y desigualdades), o más generalmente, para conjuntos en . [13] [14] Así como los criterios de observabilidad se utilizan para predecir el comportamiento de los filtros de Kalman u otros observadores en el caso del sistema dinámico, los criterios de observabilidad para conjuntos ense utilizan para predecir el comportamiento de la conciliación de datos y otros estimadores estáticos. En el caso no lineal, la observabilidad se puede caracterizar para variables individuales y también para el comportamiento del estimador local en lugar de solo el comportamiento global.
Ver también
- Controlabilidad
- Identificabilidad
- Observador estatal
- Espacio de estado (controles)
Referencias
- ^ Kalman RE, "Sobre la teoría general de los sistemas de control", Proc. 1er Int. Cong. de IFAC, Moscú 1960 1481, Butterworth, Londres 1961.
- ^ Kalman RE, "Descripción matemática de sistemas dinámicos lineales", SIAM J. Contr. 1963 1152
- ^ a b c Sontag, ED, "Teoría del control matemático", Textos en matemáticas aplicadas, 1998
- ^ http://www.ece.rutgers.edu/~gajic/psfiles/chap5traCO.pdf
- ^ Li, W .; Wei, G .; Ho, DWC; Ding, D. (noviembre de 2018). "Una detectabilidad uniforme ponderada para redes de sensores". Transacciones IEEE en redes neuronales y sistemas de aprendizaje . 29 (11): 5790–5796. doi : 10.1109 / TNNLS.2018.2817244 . PMID 29993845 . S2CID 51615852 .
- ^ Li, W .; Wang, Z .; Ho, DWC; Wei, G. (2019). "Sobre la delimitación de las covarianzas de error para los problemas de filtrado de consenso de Kalman". Transacciones IEEE sobre control automático . 65 (6): 2654–2661. doi : 10.1109 / TAC.2019.2942826 . S2CID 204196474 .
- ^ Brockett, Roger W. (1970). Sistemas lineales de dimensión finita . John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-10585-5.
- ^ Eduardo D. Sontag, Teoría del control matemático: sistemas deterministas de dimensión finita.
- ^ Apuntes de clase para la teoría de sistemas no lineales por el prof. Dr. D.Jeltsema, prof dr. JMAScherpen y el prof dr. AJvan der Schaft.
- ^ Griffith EW y Kumar KSP, "Sobre la observabilidad de sistemas no lineales I, J. Math. Anal. Appl. 1971 35135
- ^ Kou SR, Elliott DL y Tarn TJ, Inf. Contr. 1973 22 89
- ^ Singh SN, "Observabilidad en sistemas no lineales con entradas inconmensurables, Int. J. Syst. Sci., 6723, 1975"
- ^ Stanley GM y Mah, RSH, "Observabilidad y redundancia en la estimación de datos de proceso, Chem. Engng. Sci. 36, 259 (1981)
- ^ Stanley GM y Mah RSH , "Clasificación de observabilidad y redundancia en redes de procesos", Chem. Engng. Sci. 36, 1941 (1981)
enlaces externos
- "Observabilidad" . PlanetMath .
- Función MATLAB para verificar la observabilidad de un sistema
- Función de Mathematica para verificar la observabilidad de un sistema