En matemáticas , la fórmula de Faulhaber , llamada así por Johann Faulhaber , expresa la suma de las p -ésimas potencias de los primeros n enteros positivos
como una función polinomial de ( p + 1) -ésimo grado de n , los coeficientes que involucran los números de Bernoulli B j , en la forma presentada por Jacob Bernoulli y publicada en 1713:
La fórmula de Faulhaber también se llama fórmula de Bernoulli . Faulhaber no conocía las propiedades de los coeficientes descubiertos por Bernoulli. Más bien, conocía al menos los primeros 17 casos, así como la existencia de los polinomios de Faulhaber para poderes impares que se describen a continuación. [1]
Una prueba rigurosa de estas fórmulas y su afirmación de que tales fórmulas existirían para todos los poderes impares se llevó hasta Carl Jacobi ( 1834 ).
Polinomios de Faulhaber
Algunos autores utilizan el término polinomios de Faulhaber para referirse a algo diferente a la secuencia polinómica dada anteriormente. Faulhaber observó que si p es impar , entonces
Algunos autores llaman a los polinomios en una de las partes derechas de estas identidades Faulhaber polinomios . Estos polinomios son divisibles por a 2 porque el número de Bernoulli B j es 0 para j > 1 impar.
Faulhaber también sabía que si la suma de una potencia impar viene dada por
entonces la suma de la potencia par justo debajo viene dada por
Tenga en cuenta que el polinomio entre paréntesis es la derivada del polinomio anterior con respecto a a .
Dado que a = n ( n + 1) / 2, estas fórmulas muestran que para una potencia impar (mayor que 1), la suma es un polinomio en n con factores n 2 y ( n + 1) 2 , mientras que para una potencia par el polinomio tiene factores n , n + ½ y n + 1.
Summae Potestatum
Summae Potestatum de Jakob Bernoulli , Ars Conjectandi , 1713
En 1713, Jacob Bernoulli publicó bajo el título Summae Potestatum una expresión de la suma de las p potencias de los n primeros enteros como una función polinomial de ( p + 1 ) -ésimo grado de n , con coeficientes que involucran números B j , ahora llamado Bernoulli números :
Introduciendo también los dos primeros números de Bernoulli (que Bernoulli no hizo), la fórmula anterior se convierte en
utilizando el número de Bernoulli del segundo tipo para el que , o
utilizando el número de Bernoulli del primer tipo para el que
Por ejemplo, como
uno tiene para p = 4 ,
El mismo Faulhaber no conocía la fórmula en esta forma, pero sólo calculó los primeros diecisiete polinomios; la forma general se estableció con el descubrimiento de los números de Bernoulli (ver la sección de Historia ). La derivación de la fórmula de Faulhaber está disponible en The Book of Numbers de John Horton Conway y Richard K. Guy . [2]
También hay una expresión similar (pero de alguna manera más simple): usando la idea de telescopio y el teorema del binomio , uno obtiene la identidad de Pascal : [3]
Esto en particular produce los siguientes ejemplos, por ejemplo, tome k = 1 para obtener el primer ejemplo. De manera similar también encontramos
Escribir estos polinomios como un producto entre matrices da
Sorprendentemente, invertir la matriz de coeficientes polinomiales produce algo más familiar:
En la matriz invertida se puede reconocer el triángulo de Pascal , sin el último elemento de cada fila, y con signos alternos. Más precisamente, dejemosser la matriz obtenida del triángulo de Pascal quitando el último elemento de cada fila, y llenando las filas con ceros a la derecha, que es la matriz obtenida de la matriz triangular inferior de Pascal , llenando la diagonal principal con ceros y desplazando hacia arriba todos los elementos un lugar:
Dejar ser la matriz obtenida de cambiando los signos de las entradas en diagonales impares, es decir, reemplazando por . Luego
Esto es cierto para cada orden, [4] es decir, para cada entero positivo m , uno tiene Así, es posible obtener los coeficientes de los polinomios de las sumas de potencias de enteros sucesivos sin recurrir a los números de Bernoulli sino invirtiendo la matriz que se obtiene fácilmente del triángulo de Pascal.
denotar la suma en consideración para el número entero
Defina la siguiente función generadora exponencial con (inicialmente) indeterminado
Encontramos
Esta es una función completa en así que eso puede tomarse como cualquier número complejo.
A continuación, recordamos la función generadora exponencial para los polinomios de Bernoulli
dónde denota el número de Bernoulli con la convención . Esto se puede convertir en una función generadora con la convención por la adición de al coeficiente de en cada ( no necesita ser cambiado):
De ello se deduce inmediatamente que
para todos .
Expresiones alternativas
Al volver a etiquetar encontramos la expresión alternativa
También podemos expandirnos en términos de los polinomios de Bernoulli para encontrar
lo que implica
Desde cuando sea es extraño, el factor puede ser eliminado cuando .
También se puede expresar en términos de números de Stirling del segundo tipo y factoriales descendentes como [6]
Esto se debe a la definición de los números de Stirling del segundo tipo como mononomiales en términos de factoriales descendentes y al comportamiento de los factoriales descendentes por debajo de la suma indefinida .
Relación con la función zeta de Riemann
Utilizando uno puede escribir
Si consideramos la función generadora en el grande límite para , luego encontramos
Heurísticamente, esto sugiere que
Este resultado concuerda con el valor de la función zeta de Riemann para enteros negativos en continuar analíticamente de manera apropiada .
Forma umbral
En el cálculo umbral clásico uno trata formalmente los índices j en una secuencia B j como si fueran exponentes, de modo que, en este caso, podemos aplicar el teorema binomial y decir
En el cálculo umbral moderno , se considera el funcional lineal T en el espacio vectorial de polinomios en una variable b dada por
Entonces uno puede decir
Notas
^ Donald E. Knuth (1993). "Johann Faulhaber y sumas de poderes". Matemáticas de la Computación . 61 (203): 277-294. arXiv : math.CA/9207222 . doi : 10.2307 / 2152953 . JSTOR 2152953 .El artículo de arxiv.org tiene una errata en la fórmula para la suma de las 11 potencias, que fue corregida en la versión impresa. Versión correcta.
^John H. Conway , Richard Guy (1996). El libro de los números . Saltador. pag. 107 . ISBN 0-387-97993-X.
^Kieren MacMillan, Jonathan Sondow (2011). "Pruebas de congruencias de suma de potencias y coeficientes binomiales a través de la identidad de Pascal". American Mathematical Monthly . 118 (6): 549–551. arXiv : 1011.0076 . doi : 10.4169 / amer.math.monthly.118.06.549 .
^Pietrocola, Giorgio (2017), Sobre polinomios para el cálculo de sumas de potencias de números enteros sucesivos y números de Bernoulli deducidos del triángulo de Pascal (PDF).
^Derby, Nigel (2015), "Una búsqueda de sumas de poderes" , The Mathematical Gazette , 99 (546): 416–421, doi : 10.1017 / mag.2015.77.
^ Matemáticas concretas , 1ª ed. (1989), pág. 275.
enlaces externos
Jacobi, Carl (1834). "De usu legitimo formulas summatoriae Maclaurinianae". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 12 . págs. 263–72.
Weisstein, Eric W. "Fórmula de Faulhaber" . MathWorld .
Johann Faulhaber (1631). Academia Algebrae - Darinnen die miraculosische Inventiones zu den höchsten Cossen weiters continuirt und profitiert werden .Un libro muy raro, pero Knuth ha colocado una fotocopia en la biblioteca de Stanford, número de teléfono QA154.8 F3 1631a f MATH. ( copia en línea en Google Books )
Beardon, AF (1996). "Sumas de potencias de enteros" (PDF) . American Mathematical Monthly . 103 (3): 201–213. doi : 10.1080 / 00029890.1996.12004725 . Consultado el 23 de octubre de 2011 .(Ganador de un premio Lester R. Ford )
Schumacher, Raphael (2016). "Una versión extendida de la fórmula de Faulhaber" (PDF) . Diario de secuencias de enteros . 19 .
Orosi, Greg (2018). "Una derivación simple de la fórmula de Faulhaber" (PDF) . Notas electrónicas de matemáticas aplicadas . 18 . págs. 124-126.