Número piramidal cuadrado

En matemáticas , un número piramidal , o número piramidal cuadrado , es un número figurado que representa el número de esferas apiladas en una pirámide con una base cuadrada. Los números piramidales cuadrados se pueden usar para contar el número de cuadrados en una cuadrícula $n \times n$ , o triángulos agudos en un polígono regular impar . Son iguales a las sumas de números tetraédricos consecutivos y son un cuarto de un número tetraédrico mayor. La suma de dos números piramidales cuadrados consecutivos es un número octaédrico .

Representación geométrica del número piramidal cuadrado 1 + 4 + 9 + 16 = 30.

Fórmula

">

Reproducir medios

Seis copias de una pirámide cuadrada con

n

pasos pueden caber en un cuboide de tamaño

n (n + 1) (2 n + 1)

Los primeros números piramidales cuadrados son: ^[1]

1 , 5 , 14 , 30 , 55 , 91 , 140 , 204 , 285 , 385 , 506, 650, 819, ....

Estos números se pueden expresar en una fórmula como

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} P_ {n} & = \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {2} = 1 + 4 + 9 + \ cdots + n ^ {2} \\ & = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} = {\ frac {2n ^ {3} + 3n ^ {2} + n} {6}} = {\ frac {n ^ {3}} {3}} + {\ frac {n ^ {2}} {2}} + {\ frac {n} {6}}. \\\ end {alineado}}}

La suma en la fórmula representa la descomposición de una pirámide en sus capas cuadradas. Su igualdad con un polinomio cúbico es un caso especial de la fórmula de Faulhaber y puede demostrarse por inducción matemática . ^[2] Arquímedes ^[3] y Fibonacci dan fórmulas equivalentes . ^[4]

En las matemáticas modernas, los números figurados se formalizan mediante los polinomios de Ehrhart . El polinomio de Ehrhart $L (P, t)$ de un poliedro $P$ es un polinomio que cuenta el número de puntos enteros en una copia de $P$ que se expande multiplicando todas sus coordenadas por el número $t$ . El polinomio de Ehrhart de una pirámide cuya base es un cuadrado unitario con coordenadas enteras, y cuyo vértice es un punto entero a una altura uno sobre el plano de la base, es $(t + 1) (t + 2) (2 t + 3) / 6 = P t + 1$ . ^[5]

Enumeración geométrica

Los 30 cuadrados en una cuadrícula de 4 × 4

Un acertijo matemático común implica encontrar el número de cuadrados en una cuadrícula grande de $n$ por $n$ cuadrados. ^[6] Este número se puede derivar de la siguiente manera:

El número de cuadrados de 1 × 1 que se encuentran en la cuadrícula es $n 2$ .
El número de cuadrados de 2 × 2 que se encuentran en la cuadrícula es $(n - 1) 2$ . Estos se pueden contar contando todas las esquinas superiores izquierdas posibles de los cuadrados de 2 × 2 .
El número de $k \times k$ cuadrados $(1 \leq k \leq n) que se$ encuentran en la cuadrícula es $(n - k + 1) 2$ . Estos se pueden contar contando todas las esquinas superiores izquierdas posibles de $k \times k$ cuadrados.

De ello se deduce que el número de cuadrados en una cuadrícula de $n \times n$ cuadrados es:

{\ Displaystyle n ^ {2} + (n-1) ^ {2} + (n-2) ^ {2} + (n-3) ^ {2} + \ ldots + 1 ^ {2} = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}}.}

Es decir, la solución del acertijo viene dada por los números piramidales cuadrados. ^[7]

El número piramidal cuadrado ${\ Displaystyle P_ {n}}$ también cuenta el número de triángulos agudos formados a partir de los vértices de un ${\ Displaystyle (2n + 1)}$ polígono regular de lados . Por ejemplo, un triángulo equilátero contiene solo un triángulo agudo (él mismo), un pentágono regular tiene cinco triángulos áureos agudos dentro de él, un heptágono regular tiene 14 triángulos agudos de dos formas, etc. ^[1]

El número de rectángulos en una cuadrícula cuadrada viene dado por los números triangulares cuadrados . ^[8]

Relaciones con otros números figurados

Una pirámide de balas de cañón en el Musée historique de Strasbourg

4900 bolas dispuestas como una pirámide cuadrada del lado 24 y un cuadrado del lado 70

El problema de la bala de cañón pide el tamaño de las pirámides que también pueden extenderse para formar una matriz cuadrada de balas de cañón, o de manera equivalente, qué números son tanto cuadrados como piramidales cuadrados. Además del 1, solo hay otro número que tiene esta propiedad: 4900, que es tanto el número 70 cuadrado como el número 24 piramidal cuadrado. Este hecho fue probado por GN Watson en 1918. ^[9]

Los números piramidales cuadrados se pueden expresar como sumas de coeficientes binomiales :

{\ Displaystyle P_ {n} = {\ binom {n + 2} {3}} + {\ binom {n + 1} {3}}.}

Los coeficientes binomiales que aparecen en esta representación son números tetraédricos , y esta fórmula expresa un número piramidal cuadrado como la suma de dos números tetraédricos de la misma manera que los números cuadrados son las sumas de dos números triangulares consecutivos . ^[10] Si un tetraedro se refleja en una de sus caras, las dos copias forman una bipirámide triangular . Los números piramidales cuadrados son también los números figurados de las bipirámides triangulares, y esta fórmula se puede interpretar como una igualdad entre los números piramidales cuadrados y los números bipiramidales triangulares. ^[1] De manera análoga, al reflejar una pirámide cuadrada a lo largo de su base se produce un octaedro, del cual se deduce que cada número octaédrico es la suma de dos números piramidales cuadrados consecutivos. ^[11]

Los números piramidales cuadrados también se relacionan con los números tetraédricos de una manera diferente: los puntos de cuatro copias de la misma pirámide cuadrada se pueden reorganizar para formar un único tetraedro de un poco más del doble de la longitud del borde. Es decir, ^[12]

{\ Displaystyle 4P_ {n} = {\ binom {2n + 2} {3}}.}

Otras propiedades

La serie alterna de fracciones unitarias con los números piramidales cuadrados como denominadores está estrechamente relacionada con la fórmula de Leibniz para π , aunque converge más rápidamente. Es: ^[13]

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} & (- 1) ^ {i-1} {\ frac {1} {P_ {i}}} \\ & = 1 - {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {14}} - {\ frac {1} {30}} + {\ frac {1} {55}} - {\ frac { 1} {91}} + {\ frac {1} {140}} - {\ frac {1} {204}} + \ cdots \\ & = 6 (\ pi -3) \\ & \ approx 0.849556. \ \\ end {alineado}}}

Referencias

^ a b c Sloane, N. J. A. (ed.), "Secuencia A000330 (números piramidales cuadrados)" , The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences , OEIS Foundation
^ Hopcroft, John E .; Motwani, Rajeev ; Ullman, Jeffrey D. (2007), Introducción a la teoría, los lenguajes y la computación de los autómatas (3 ed.), Pearson / Addison Wesley, p. 20 , ISBN 9780321455369
^ Arquímedes , Sobre conoides y esferoides , Lema a la Prop. 2, y Sobre espirales , Prop. 10. Véase "Lema de la propuesta 2" ,Las obras de Arquímedes, traducido por TL Heath , Cambridge University Press, 1897, págs. 107-109
↑ Fibonacci (1202), Liber Abaci , cap. II.12. Ver Liber Abaci de Fibonacci , traducido por Laurence E. Sigler, Springer-Verlag, 2002, págs. 260–261, ISBN 0-387-95419-8
^ Beck, M .; De Loera, JA ; Develin, M .; Pfeifle, J .; Stanley, RP (2005), "Coeficientes y raíces de polinomios de Ehrhart", Puntos enteros en poliedros: geometría, teoría de números, álgebra, optimización , matemáticas contemporáneas, 374 , Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, págs. 15–36, arXiv : matemáticas / 0402148 , MR 2134759
^ Duffin, Janet; Patchett, Mary; Adamson, Ann; Simmons, Neil (noviembre de 1984), "Old square new faces", Mathematics in School , 13 (5): 2–4, JSTOR 30216270
^ Robitaille, David F. (mayo de 1974), "Matemáticas y ajedrez", The Arithmetic Teacher , 21 (5): 396–400, JSTOR 41190919
^ Stein, Robert G. (1971), "Una prueba combinatoria de que ${\ Displaystyle \ textstyle \ sum k ^ {3} = (\ sum k) ^ {2}}$ ", Revista de matemáticas , 44 (3): 161-162, doi : 10.2307 / 2688231 , JSTOR 2688231
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^ Beiler, AH (1964), Recreaciones en la teoría de los números , Dover, págs. 194 , ISBN 0-486-21096-0
^ Caglayan, Günhan; Buddoo, Horace (septiembre de 2014), "Números tetraédricos", The Mathematics Teacher , 108 (2): 92–97, doi : 10.5951 / mathteacher.108.2.0092 , JSTOR 10.5951 / mathteacher.108.2.0092
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^ Fearnehough, Alan (noviembre de 2006), "90.67 A series for the 'bit ' ", Notes, The Mathematical Gazette , 90 (519): 460–461, JSTOR 40378200

Otras lecturas

Abramowitz, M .; Stegun, IA , eds. (1964), Manual de funciones matemáticas , Matemáticas aplicadas. Serie, 55 , Oficina Nacional de Normas, págs.813 , ISBN 0-486-61272-4
Goldoni, G. (2002), "Una demostración visual de la suma de los primeros $n$ cuadrados y de la suma de los primeros $n$ factoriales de orden dos", The Mathematical Intelligencer , 24 (4): 67–69, doi : 10.1007 / bf03025326

enlaces externos

Weisstein, Eric W. , "Número piramidal cuadrado" , MathWorld

[oeis-1] Sloane, N. J. A. (ed.), "Secuencia A000330 (números piramidales cuadrados)" , The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences , OEIS Foundation

[hmu-2] Hopcroft, John E .; Motwani, Rajeev ; Ullman, Jeffrey D. (2007), Introducción a la teoría, los lenguajes y la computación de los autómatas (3 ed.), Pearson / Addison Wesley, p. 20 , ISBN 9780321455369

[archimedes-3] Arquímedes , Sobre conoides y esferoides , Lema a la Prop. 2, y Sobre espirales , Prop. 10. Véase "Lema de la propuesta 2" ,Las obras de Arquímedes, traducido por TL Heath , Cambridge University Press, 1897, págs. 107-109

[fibonacci-4] Fibonacci (1202), Liber Abaci , cap. II.12. Ver Liber Abaci de Fibonacci , traducido por Laurence E. Sigler, Springer-Verlag, 2002, págs. 260–261, ISBN 0-387-95419-8

[bddps-5] Beck, M .; De Loera, JA ; Develin, M .; Pfeifle, J .; Stanley, RP (2005), "Coeficientes y raíces de polinomios de Ehrhart", Puntos enteros en poliedros: geometría, teoría de números, álgebra, optimización , matemáticas contemporáneas, 374 , Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, págs. 15–36, arXiv : matemáticas / 0402148 , MR 2134759

[dpas-6] Duffin, Janet; Patchett, Mary; Adamson, Ann; Simmons, Neil (noviembre de 1984), "Old square new faces", Mathematics in School , 13 (5): 2–4, JSTOR 30216270

[robitaille-7] Robitaille, David F. (mayo de 1974), "Matemáticas y ajedrez", The Arithmetic Teacher , 21 (5): 396–400, JSTOR 41190919

[stein-8] Stein, Robert G. (1971), "Una prueba combinatoria de que ${\ Displaystyle \ textstyle \ sum k ^ {3} = (\ sum k) ^ {2}}$ ", Revista de matemáticas , 44 (3): 161-162, doi : 10.2307 / 2688231 , JSTOR 2688231

[anglin-9] Anglin, WS (1990), "The square pyramid puzzle", American Mathematical Monthly , 97 (2): 120-124, doi : 10.2307 / 2323911 , JSTOR 2323911

[beiler-10] Beiler, AH (1964), Recreaciones en la teoría de los números , Dover, págs. 194 , ISBN 0-486-21096-0

[cagbud-11] Caglayan, Günhan; Buddoo, Horace (septiembre de 2014), "Números tetraédricos", The Mathematics Teacher , 108 (2): 92–97, doi : 10.5951 / mathteacher.108.2.0092 , JSTOR 10.5951 / mathteacher.108.2.0092

[alsnel-12] Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2015), "Challenge 2.13", A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century , The Dolciani Mathematical Expositions, 50 , Washington, DC: Asociación Matemática de América, págs. 43, 234, ISBN 978-0-88385-358-0, MR 3379535

[fearnehough-13] Fearnehough, Alan (noviembre de 2006), "90.67 A series for the 'bit ' ", Notes, The Mathematical Gazette , 90 (519): 460–461, JSTOR 40378200

[1]