En matemáticas , la desigualdad de Bernoulli (llamada así por Jacob Bernoulli ) es una desigualdad que se aproxima a las exponenciaciones de 1 + x . A menudo se emplea en análisis reales .
Una ilustración de la desigualdad de Bernoulli, con las
gráficas de
y
se muestra en rojo y azul respectivamente. Aquí,
La desigualdad establece que
para todo entero r ≥ 0 y todo número real x ≥ −1. [1] Si el exponente r es par , entonces la desigualdad es válida para todos los números reales x . La versión estricta de la desigualdad dice
para todo entero r ≥ 2 y todo número real x ≥ −1 con x ≠ 0.
También hay una versión generalizada que dice que para cada número real r ≥ 1 y número real x ≥ −1,
mientras que para 0 ≤ r ≤ 1 y número real x ≥ −1,
La desigualdad de Bernoulli se utiliza a menudo como el paso crucial en la prueba de otras desigualdades. Puede demostrarse en sí mismo mediante inducción matemática , como se muestra a continuación.
HistoriaJacob Bernoulli publicó por primera vez la desigualdad en su tratado "Positiones Arithmeticae de Seriebus Infinitis" (Basilea, 1689), donde usó la desigualdad a menudo. [2]
Según Joseph E. Hofmann, Über die Exercitatio Geometrica des MA Ricci (1963), p. 177, la desigualdad se debe en realidad a Sluse en su Mesolabum (edición de 1668), Capítulo IV "De maximis & minimis". [2]
Prueba de la desigualdadProcedemos con la inducción matemática de la siguiente forma:
- probamos la desigualdad para ,
- de la validez de algunos r deducimos la validez de r + 2.
Para r = 0,
es equivalente a 1 ≥ 1 que es cierto.
De manera similar, para r = 1 tenemos
Ahora suponga que la afirmación es verdadera para r = k :
Entonces sigue que
desde así como . Mediante la inducción modificada concluimos que el enunciado es verdadero para todo entero no negativo r .
GeneralizacionesGeneralización de exponente
El exponente r se puede generalizar a un número real arbitrario de la siguiente manera: si x > −1, entonces
para r ≤ 0 o r ≥ 1, y
para 0 ≤ r ≤ 1.
Esta generalización se puede probar comparando derivadas . Nuevamente, las versiones estrictas de estas desigualdades requieren x ≠ 0 y r ≠ 0, 1.
Generalización de base
En vez de la desigualdad se mantiene también en la forma dónde son números reales, todos mayores que -1, todos con el mismo signo. La desigualdad de Bernoulli es un caso especial cuando. Esta desigualdad generalizada puede demostrarse mediante inducción matemática.
Prueba
En el primer paso que damos . En este caso desigualdad es obviamente cierto.
En el segundo paso asumimos la validez de la desigualdad para números y deducir validez para números.
Asumimos que
es válido. Después de multiplicar ambos lados con un número positivo obtenemos:
Como tienen todos el signo igual, los productos son todos números positivos. Entonces, la cantidad en el lado derecho se puede acotar de la siguiente manera:
lo que se iba a mostrar. Desigualdades relacionadasLa siguiente desigualdad estima la r -ésima potencia de 1 + x desde el otro lado. Para cualquier número real x , r con r > 0, uno tiene
donde e = 2,718 ... . Esto se puede demostrar usando la desigualdad (1 + 1 / k ) k < e .
Forma alternativaPrueba alternativaUsando AM-GM
Una prueba elemental para y x ≥ -1 se puede dar usando AM-GM ponderado .
Dejar ser dos constantes reales no negativas. Por AM-GM ponderado en con pesas respectivamente, obtenemos
Tenga en cuenta que
y
entonces nuestra desigualdad es equivalente a
Después de sustituir (teniendo en cuenta que esto implica ) nuestra desigualdad se convierte en
que es la desigualdad de Bernoulli.
Usando la fórmula para series geométricas
La desigualdad de Bernoulli
| | (1) |
es equivalente a
| | (2) |
y por la fórmula para series geométricas (usando y = 1 + x ) obtenemos
| | (3) |
lo que lleva a
| | ( 4 ) |
Ahora si luego por la monotonía de los poderes cada sumando , y por tanto su suma es mayor y por lo tanto el producto en el LHS de ( 4 ).
Si luego por los mismos argumentos y así todos los sumandos no son positivos y, por tanto, también lo es su suma. Dado que el producto de dos números no positivos no es negativo, obtenemos nuevamente ( 4 ).
Usando el teorema del binomio
Se puede probar la desigualdad de Bernoulli para x ≥ 0 usando el teorema del binomio . Es trivialmente cierto para r = 0, así que suponga que r es un número entero positivo. Luego Claramente y por lo tanto según sea necesario.
NotasReferenciasenlaces externos