Un factor de integración es cualquier expresión por la que se multiplica una ecuación diferencial para facilitar la integración. Por ejemplo, la ecuación de segundo orden no lineal
admite como factor integrador:
Para integrar, tenga en cuenta que ambos lados de la ecuación se pueden expresar como derivadas retrocediendo con la regla de la cadena :
Por lo tanto,
dónde es una constante.
Este formulario puede ser más útil, según la aplicación. Realizar una separación de variables dará
Esta es una solución implícita que involucra una integral no elemental . Este mismo método se utiliza para resolver el período de un péndulo simple .
Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden
Los factores integradores son útiles para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias que se pueden expresar en la forma
La idea básica es encontrar alguna función, digamos , llamado el "factor de integración", que podemos multiplicar a través de nuestra ecuación diferencial para traer el lado izquierdo bajo una derivada común. Para la ecuación diferencial lineal canónica de primer orden que se muestra arriba, el factor de integración es.
Tenga en cuenta que no es necesario incluir la constante arbitraria en la integral, o valores absolutos en caso de que la integral de implica un logaritmo. En primer lugar, solo necesitamos un factor integrador para resolver la ecuación, no todos los posibles; en segundo lugar, tales constantes y valores absolutos se cancelarán incluso si se incluyen. Para valores absolutos, esto se puede ver escribiendo, dónde se refiere a la función de signo , que será constante en un intervalo sies continuo. Como no está definido cuando , y un logaritmo en antiderivada solo aparece cuando la función original involucró un logaritmo o un recíproco (ninguno de los cuales está definido para 0), tal intervalo será el intervalo de validez de nuestra solución.
Para derivar esto, dejemos ser el factor integrador de una ecuación diferencial lineal de primer orden tal que la multiplicación por transforma una derivada parcial en una derivada total, entonces:
Pasar del paso 2 al paso 3 requiere que , que es una ecuación diferencial separable , cuya solución produce en términos de :
Para verificar, multiplicar por da
Al aplicar la regla del producto a la inversa, vemos que el lado izquierdo se puede expresar como una única derivada en
Usamos este hecho para simplificar nuestra expresión a
Integrando ambos lados con respecto a
dónde es una constante.
Moviendo el exponencial al lado derecho, la solución general de la Ecuación Diferencial Ordinaria es:
En el caso de una ecuación diferencial homogénea , y la solución general de la ecuación diferencial ordinaria es:
- .
por ejemplo, considere la ecuación diferencial
Podemos ver que en este caso
Multiplicar ambos lados por obtenemos
La ecuación anterior se puede reescribir como
Integrando ambos lados con respecto ax obtenemos
o
Se puede lograr el mismo resultado utilizando el siguiente enfoque
Invertir la regla del cociente da
o
o
dónde es una constante.
Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden
El método de integración de factores para ecuaciones de primer orden se puede extender naturalmente también a ecuaciones de segundo orden. El objetivo principal al resolver ecuaciones de primer orden era encontrar un factor integrador tal que multiplicando por ello cedería , tras lo cual la posterior integración y división por cedería . Para ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, si queremos para trabajar como un factor integrador, entonces
Esto implica que una ecuación de segundo orden debe tener exactamente la forma para que el factor de integración sea utilizable.
Ejemplo 1
Por ejemplo, la ecuación diferencial
se puede resolver exactamente con factores integradores. La Apropiadapuede deducirse examinando el término. En este caso,, entonces . Después de examinar el término, vemos que de hecho tenemos , entonces multiplicaremos todos los términos por el factor integrador . Esto nos da
que se puede reorganizar para dar
Integrando el doble de rendimientos
Dividiendo por el factor integrador se obtiene:
Ejemplo 2
Una aplicación un poco menos obvia de los factores de integración de segundo orden implica la siguiente ecuación diferencial:
A primera vista, esto claramente no está en la forma necesaria para los factores de integración de segundo orden. Tenemos una término frente a pero no en frente de . Sin emabargo,
y de la identidad pitagórica que relaciona cotangente y cosecante,
así que tenemos el término requerido delante de y puede utilizar factores integradores.
Multiplicando cada término por da
que reordenado es
Integrar dos veces da
Finalmente, dividir por el factor integrador da
Resolver ecuaciones diferenciales lineales de enésimo orden
Los factores de integración se pueden extender a cualquier orden, aunque la forma de la ecuación necesaria para aplicarlos se vuelve más y más específica a medida que aumenta el orden, haciéndolos menos útiles para los órdenes 3 y superiores. La idea general es diferenciar la función tiempos para un ecuación diferencial de orden de th y combinar términos semejantes. Esto producirá una ecuación en la forma
Si una La ecuación de th orden coincide con la forma que se obtiene tras diferenciar veces, uno puede multiplicar todos los términos por el factor integrador e integrar veces, dividiendo por el factor integrador en ambos lados para lograr el resultado final.
Ejemplo
Un uso de tercer orden de factores integradores da
requiriendo así que nuestra ecuación esté en la forma
Por ejemplo en la ecuación diferencial
tenemos , por lo que nuestro factor de integración es . Reorganizar da
Integrando tres veces y dividiendo por los rendimientos del factor integrador