En matemáticas , el teorema del isomorfismo de Ornstein es un resultado profundo de la teoría ergódica . Afirma que si dos esquemas de Bernoulli diferentes tienen la misma entropía de Kolmogorov , entonces son isomórficos. [1] [2] El resultado, dado por Donald Ornstein en 1970, es importante porque establece que muchos sistemas que antes se creía no relacionados son de hecho isomorfos; Estos incluyen todos los procesos estocásticos estacionarios finitos , incluidas las cadenas de Markov y los subdesplazamientos de tipo finito , los flujos de Anosov y los billares de Sinaí ,automorfismos ergódicos del n- torus , y la fracción continua se transforma .
Discusión
El teorema es en realidad una colección de teoremas relacionados. El primer teorema establece que si dos cambios de Bernoulli diferentes tienen la misma entropía de Kolmogorov , entonces son isomorfos como sistemas dinámicos . El tercer teorema extiende este resultado a los flujos : a saber, que existe un flujo tal que es un turno de Bernoulli. El cuarto teorema establece que, para una entropía fija dada, este flujo es único, hasta un cambio de escala constante del tiempo. El quinto teorema establece que hay un flujo único y único (hasta un cambio de escala constante del tiempo) que tiene entropía infinita. La frase "hasta un cambio de escala constante del tiempo" significa simplemente que si y son dos flujos con la misma entropía, entonces para alguna constante c .
Un corolario de estos resultados es que un cambio de Bernoulli se puede factorizar arbitrariamente: así, por ejemplo, dado un cambio T , hay otro cambio que es isomorfo a ella.
Historia
La cuestión del isomorfismo se remonta a von Neumann , quien preguntó si los dos esquemas de Bernoulli BS (1/2, 1/2) y BS (1/3, 1/3, 1/3) eran isomorfos o no. En 1959, Ya. Sinai y Kolmogorov respondieron negativamente, mostrando que dos esquemas diferentes no pueden ser isomorfos si no tienen la misma entropía. Específicamente, demostraron que la entropía de un esquema de Bernoulli BS ( p 1 , p 2 , ..., p n ) está dada por [3] [4]
El teorema del isomorfismo de Ornstein, probado por Donald Ornstein en 1970, establece que dos esquemas de Bernoulli con la misma entropía son isomorfos . El resultado es agudo, [5] en el sentido de que sistemas muy similares que no pertenecen al esquema no tienen esta propiedad; específicamente, existen sistemas de Kolmogorov con la misma entropía que no son isomorfos. Ornstein recibió el premio Bôcher por este trabajo.
Michael S. Keane y M. Smorodinsky dieron una demostración simplificada del teorema del isomorfismo en 1979. [6] [7] Sin embargo, la demostración original sigue siendo más poderosa, ya que proporciona un criterio simple que se puede aplicar para determinar si dos los diferentes sistemas son isomorfos o no.
Referencias
- ^ Ornstein, Donald (1970). "Los cambios de Bernoulli con la misma entropía son isomorfos" . Avances en Matemáticas . 4 : 337–352. doi : 10.1016 / 0001-8708 (70) 90029-0 .
- ^ Donald Ornstein, "Teoría ergódica, aleatoriedad y sistemas dinámicos" (1974) Yale University Press, ISBN 0-300-01745-6
- ^ Ya.G. Sinai, (1959) "Sobre la noción de entropía de un sistema dinámico", Doklady de la Academia de Ciencias de Rusia 124 , págs. 768–771.
- ^ Ya. G. Sinai, (2007) " Entropía métrica del sistema dinámico "
- ^ Christopher Hoffman, " Máquina de contraejemplo de AK ", Trans. Amer. Matemáticas. Soc. 351 (1999), págs. 4263–4280
- ^ M. Keane y M. Smorodinsky, " El teorema del isomorfismo finitario para cambios de Markov ", Bull. Amer. Matemáticas. Soc. 1 (1979), págs. 436–438
- ^ M. Keane y M. Smorodinsky, "Los esquemas de Bernoulli de la misma entropía son finitariamente isomórficos". Annals of Mathematics (2) 109 (1979), págs. 397–406.
Otras lecturas
- Steven Kalikow, Randall McCutcheon (2010) Esquema de la teoría ergódica , Cambridge University Press
- D. Ornstein (2001) [1994], "Teorema del isomorfismo de Ornstein" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Donald Ornstein (2008), " Teoría de Ornstein " Scholarpedia, 3 (3): 3957.