En matemáticas , el esquema de Bernoulli o el cambio de Bernoulli es una generalización del proceso de Bernoulli a más de dos resultados posibles. [1] [2] Los esquemas de Bernoulli aparecen naturalmente en la dinámica simbólica y, por lo tanto, son importantes en el estudio de los sistemas dinámicos . Muchos sistemas dinámicos importantes (como los sistemas Axiom A ) exhiben un repelente que es el producto del conjunto de Cantor y una variedad suave , y la dinámica en el conjunto de Cantor es isomórfica a la del cambio de Bernoulli. [3] Este es esencialmente elPartición de Markov . El término cambio se refiere al operador de turno , que puede usarse para estudiar los esquemas de Bernoulli. El teorema del isomorfismo de Ornstein [4] [5] muestra que los cambios de Bernoulli son isomorfos cuando su entropía es igual.
Definición
Un esquema de Bernoulli es un proceso estocástico de tiempo discreto donde cada variable aleatoria independiente puede tomar uno de N valores posibles distintos, y el resultado i ocurre con probabilidad , con i = 1, ..., N , y
El espacio muestral generalmente se denota como
como una abreviatura de
La medida asociada se llama medida de Bernoulli [6].
El σ-álgebra en X es el producto álgebra sigma; es decir, es el producto directo (contable) de las σ-álgebras del conjunto finito {1, ..., N }. Así, el triplete
es un espacio de medida . Una base deson los juegos de cilindros . Dado un juego de cilindros, su medida es
La expresión equivalente, usando la notación de la teoría de la probabilidad, es
para las variables aleatorias
El esquema de Bernoulli, como cualquier proceso estocástico, puede verse como un sistema dinámico dotándolo del operador de turno T donde
Dado que los resultados son independientes, el desplazamiento conserva la medida y, por lo tanto, T es una transformación que conserva la medida . El cuatrillizo
es un sistema dinámico que preserva las medidas y se denomina esquema de Bernoulli o cambio de Bernoulli . A menudo se denota por
El esquema de Bernoulli N = 2 se denomina proceso de Bernoulli . El cambio de Bernoulli puede entenderse como un caso especial del cambio de Markov , donde todas las entradas en la matriz de adyacencia son una, siendo el gráfico correspondiente una camarilla .
Coincidencias y métricas
La distancia de Hamming proporciona una métrica natural en un esquema de Bernoulli. Otra métrica importante es la denominadamétrica, definida a través de un supremo sobre coincidencias de cadenas . [7]
Dejar y ser dos cadenas de símbolos. Una coincidencia es una secuencia M de pares de índices en la cadena, es decir, pares tales que entendido totalmente ordenado. Es decir, cada subsecuencia individual y se ordenan: y de la misma manera
La - distancia entre y es
donde el supremo se está apoderando de todos los partidos Entre y . Esto satisface la desigualdad del triángulo solo cuandopor lo que no es una métrica del todo verdadera; a pesar de esto, comúnmente se le llama una "distancia" en la literatura.
Generalizaciones
La mayoría de las propiedades del esquema de Bernoulli se derivan del producto directo contable , más que del espacio base finito. Por lo tanto, se puede tomar el espacio base como cualquier espacio de probabilidad estándar , y definir el esquema de Bernoulli como
Esto funciona porque el producto directo contable de un espacio de probabilidad estándar es nuevamente un espacio de probabilidad estándar.
Como generalización adicional, se pueden reemplazar los números enteros por un grupo discreto contable , así que eso
Para este último caso, el operador de turno es reemplazado por la acción de grupo
para elementos de grupo y entendido como una función (cualquier producto directo puede entenderse como el conjunto de funciones , ya que este es el objeto exponencial ). La medidase toma como la medida de Haar , que es invariante bajo la acción de grupo:
Estas generalizaciones también se denominan comúnmente esquemas de Bernoulli, ya que aún comparten la mayoría de las propiedades con el caso finito.
Propiedades
Ya. Sinai demostró que la entropía de Kolmogorov de un esquema de Bernoulli viene dada por [8] [9]
Esto puede verse como resultado de la definición general de la entropía de un producto cartesiano de espacios de probabilidad, que se sigue de la propiedad de equipartición asintótica . Para el caso de un espacio base general( es decir, un espacio base que no es contable), normalmente se considera la entropía relativa . Entonces, por ejemplo, si uno tiene una partición contable de la base Y , tal que, se puede definir la entropía como
En general, esta entropía dependerá de la partición; sin embargo, para muchos sistemas dinámicos , se da el caso de que la dinámica simbólica es independiente de la partición (o más bien, hay isomorfismos que conectan la dinámica simbólica de diferentes particiones, dejando la medida invariante), por lo que dichos sistemas pueden tener un buen resultado. entropía definida independiente de la partición.
Teorema del isomorfismo de Ornstein
El teorema del isomorfismo de Ornstein establece que dos esquemas de Bernoulli con la misma entropía son isomorfos . [4] El resultado es nítido, [10] en el sentido de que sistemas muy similares que no son de esquema, como los automorfismos de Kolmogorov , no tienen esta propiedad.
El teorema del isomorfismo de Ornstein es de hecho considerablemente más profundo: proporciona un criterio simple mediante el cual se puede juzgar que muchos sistemas dinámicos diferentes que preservan medidas son isomorfos a los esquemas de Bernoulli. El resultado fue sorprendente, ya que muchos sistemas que antes se creía no relacionados demostraron ser isomórficos. Estos incluyen todos los procesos estocásticos estacionarios finitos [ aclaración necesaria ] , subdesplazamientos de tipo finito , cadenas de Markov finitas , flujos de Anosov y billares de Sinai : todos estos son isomórficos a los esquemas de Bernoulli.
Para el caso generalizado, el teorema del isomorfismo de Ornstein sigue siendo válido si el grupo G es un grupo susceptible de contabilización infinito . [11] [12]
Automorfismo de Bernoulli
Una transformación invertible que conserva la medida de un espacio de probabilidad estándar ( espacio de Lebesgue) se denomina automorfismo de Bernoulli si es isomórfico a un cambio de Bernoulli . [13]
Vagamente Bernoulli
Un sistema se denomina "vagamente Bernoulli" si es Kakutani-equivalente a un cambio de Bernoulli; en el caso de la entropía cero, si es Kakutani-equivalente a una rotación irracional de un círculo.
Ver también
- Desplazamiento de tipo finito
- Cadena de Markov
- Modelo de Bernoulli oculto
Referencias
- ^ P. Shields, La teoría de cambios de Bernoulli , Univ. Prensa de Chicago (1973)
- ^ Michael S. Keane, "Teoría ergódica y subdesplazamientos de tipo finito", (1991), que aparece como Capítulo 2 en Teoría ergódica, dinámica simbólica y espacios hiperbólicos , Tim Bedford, Michael Keane y Caroline Series, Eds. Prensa de la Universidad de Oxford, Oxford (1991). ISBN 0-19-853390-X
- ^ Pierre Gaspard, Caos, dispersión y mecánica estadística (1998), Cambridge University Press
- ^ a b Ornstein, Donald (1970). "Los cambios de Bernoulli con la misma entropía son isomorfos" . Avances en Matemáticas . 4 : 337–352. doi : 10.1016 / 0001-8708 (70) 90029-0 .
- ^ DS Ornstein (2001) [1994], "Teorema del isomorfismo de Ornstein" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- ^ Klenke, Achim (2006). Teoría de la probabilidad . Springer-Verlag. ISBN 978-1-84800-047-6.
- ^ Feldman, Jacob (1976). "Nuevo K {\ Displaystyle K} -automorfismos y un problema de Kakutani " . Revista de Matemáticas de Israel . 24 (1): 16-38. doi : 10.1007 / BF02761426 .
- ^ Ya.G. Sinai, (1959) "Sobre la noción de entropía de un sistema dinámico", Doklady de la Academia de Ciencias de Rusia 124 , págs. 768–771.
- ^ Ya. G. Sinai, (2007) " Entropía métrica del sistema dinámico "
- ^ Hoffman, Christopher (1999). "A K {\ Displaystyle K} Contraejemplo Machine " . Transactions of the American Mathematical Society . 351 : 4263–4280.
- ^ Ornstein, Daniel; Weiss, Benjamin (1987). "Teoremas de entropía e isomorfismo para acciones de grupos susceptibles" . Journal d'Analyse Mathématique . 48 : 1-141. doi : 10.1007 / BF02790325 .
- ^ Bowen, Lewis (2012). "Todo grupo numerablemente infinito es casi Ornstein". Matemáticas contemporáneas . 567 : 67–78. arXiv : 1103.4424 .
- ^ Peter Walters (1982) Una introducción a la teoría ergódica , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90599-5