En geometría diferencial , el problema de Bernstein es el siguiente: si la gráfica de una función en R n −1 es una superficie mínima en R n , ¿implica esto que la función es lineal? Esto es cierto en las dimensiones n a lo sumo 8, pero falso en las dimensiones n al menos 9. El problema lleva el nombre de Sergei Natanovich Bernstein, quien resolvió el caso n = 3 en 1914.
Declaración
Suponga que f es una función de n - 1 variables reales. La gráfica de f es una superficie en R n , y la condición de que sea una superficie mínima es que f satisface la ecuación de superficie mínima
El problema de Bernstein pregunta si una función completa (una función definida en R n −1 ) que resuelve esta ecuación es necesariamente un polinomio de grado 1.
Historia
Bernstein (1915-1917) demostró el teorema de Bernstein de que una gráfica de una función real en R 2 que también es una superficie mínima en R 3 debe ser un plano.
Fleming (1962) dio una nueva demostración del teorema de Bernstein deduciéndolo del hecho de que no hay un cono que minimice el área no plana en R 3 .
De Giorgi (1965) mostró que si no hay un cono que minimice el área no planar en R n −1, entonces el análogo del teorema de Bernstein es verdadero en R n , lo que en particular implica que es cierto en R 4 .
Almgren (1966) mostró que no hay conos minimizadores no planos en R 4 , extendiendo así el teorema de Bernstein a R 5 .
Simons (1968) mostró que no hay conos minimizadores no planos en R 7 , extendiendo así el teorema de Bernstein a R 8 . También dio ejemplos de conos localmente estables en R 8 y preguntó si estaban minimizando el área globalmente.
Bombieri, De Giorgi y Giusti (1969) mostraron que los conos de Simons se están minimizando globalmente, y mostraron que en R n para n ≥9 hay gráficos que son mínimos pero no hiperplanos. Combinado con el resultado de Simons, esto muestra que el análogo del teorema de Bernstein es verdadero en dimensiones hasta 8 y falso en dimensiones superiores. Un ejemplo específico es la superficie.
Referencias
- Almgren, FJ (1966), "Algunos teoremas de regularidad interior para superficies mínimas y una extensión del teorema de Bernstein", Annals of Mathematics , Second Series, 84 : 277-292, doi : 10.2307 / 1970520 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970520 , Señor 0200816
- Bernstein, SN (1915-1917), "Sur une théorème de géometrie et ses applications aux équations dérivées partielles du type elliptique", Comm. Soc. Matemáticas. Jarkov , 15 : 38–45 Traducción al alemán en Bernstein, Serge (1927), "Über ein geometrisches Teorema und seine Anwendung auf die partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus", Mathematische Zeitschrift (en alemán), Springer Berlin / Heidelberg, 26 : 551-558, doi : 10.1007 / BF01475472 , ISSN 0025 -5874
- Bombieri, Enrico ; De Giorgi, Ennio ; Giusti, E. (1969), "Conos mínimos y el problema de Bernstein", Inventiones Mathematicae , 7 : 243–268, doi : 10.1007 / BF01404309 , ISSN 0020-9910 , MR 0250205
- De Giorgi, Ennio (1965), "Una estensione del teorema di Bernstein" , Ann. Norma de la Scuola. Sorber. Pisa (3) , 19 : 79–85, MR 0178385
- Fleming, Wendell H. (1962), "Sobre el problema de la meseta orientada", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . Serie II , 11 : 69–90, doi : 10.1007 / BF02849427 , ISSN 0009-725X , MR 0157263
- Sabitov, I. Kh. (2001) [1994], "Teorema de Bernstein" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Simons, James (1968), "Variedades mínimas en variedades riemannianas" (PDF) , Annals of Mathematics , Second Series, 88 : 62-105, doi : 10.2307 / 1970556 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970556 , MR 0233295
- Straume, E. (2001) [1994], "Problema de Bernstein en geometría diferencial" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
enlaces externos
- Artículo de la Enciclopedia de Matemáticas sobre el teorema de Bernstein