Polinomio de Bernstein

Polinomios de Bernstein que se aproximan a una curva

En el campo matemático del análisis numérico , un polinomio de Bernstein es un polinomio que es una combinación lineal de polinomios de base de Bernstein . La idea lleva el nombre de Sergei Natanovich Bernstein .

Una forma numéricamente estable de evaluar polinomios en forma de Bernstein es el algoritmo de Casteljau .

Los polinomios en forma de Bernstein fueron utilizados por primera vez por Bernstein en una demostración constructiva del teorema de aproximación de Weierstrass . Con el advenimiento de los gráficos por computadora, los polinomios de Bernstein, restringidos al intervalo [0, 1], cobraron importancia en forma de curvas de Bézier .

Polinomios de base de Bernstein para la combinación de curvas de cuarto grado

Definición

Los polinomios de base de Bernstein n  +1 de grado n se definen como

${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)={\binom {n}{\nu }}x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu },\quad \nu =0,\ldots ,n,}$

donde ${\displaystyle {\tbinom {n}{\nu }}}$es un coeficiente binomial . Así por ejemplo,${\displaystyle b_{2,5}(x)={\tbinom {5}{2}}x^{2}(1-x)^{3}=10x^{2}(1-x)^{3}.}$

Los primeros polinomios de base de Bernstein para mezclar 1, 2, 3 o 4 valores juntos son:

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-x,&b_{1,1}(x)&=x\\b_{0,2}(x)&=(1-x)^{2},&b_{1,2}(x)&=2x(1-x),&b_{2,2}(x)&=x^{2}\\b_{0,3}(x)&=(1-x)^{3},&b_{1,3}(x)&=3x(1-x)^{2},&b_{2,3}(x)&=3x^{2}(1-x),&b_{3,3}(x)&=x^{3}\end{aligned}}}$

Los polinomios de base de Bernstein de grado n forman una base para el espacio vectorial ${\displaystyle \Pi _{n}}$de polinomios de grado como máximo  n con coeficientes reales. Una combinación lineal de polinomios de base de Bernstein

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}\beta _{\nu }b_{\nu ,n}(x)}$

se llama polinomio de Bernstein o polinomio en forma de Bernstein de grado  n . ^[1] Los coeficientes${\displaystyle \beta _{\nu }}$se denominan coeficientes de Bernstein o coeficientes de Bézier .

Los primeros polinomios de base de Bernstein de arriba en forma monomial son:

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-1x,&b_{1,1}(x)&=0+1x\\b_{0,2}(x)&=1-2x+1x^{2},&b_{1,2}(x)&=0+2x-2x^{2},&b_{2,2}(x)&=0+0x+1x^{2}\\b_{0,3}(x)&=1-3x+3x^{2}-x^{3},&b_{1,3}(x)&=0+3x-6x^{2}+3x^{3},&b_{2,3}(x)&=0+0x+3x^{2}-3x^{3},&b_{3,3}(x)&=0+0x+0x^{2}+1x^{3}\end{aligned}}}$

Propiedades

Los polinomios de base de Bernstein tienen las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)=0}$, Si ${\displaystyle \nu <0}$ o ${\displaystyle \nu >n.}$

• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)\geq 0}$ por ${\displaystyle x\in [0,\ 1].}$

• ${\displaystyle b_{\nu ,n}\left(1-x\right)=b_{n-\nu ,n}(x).}$

• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(0)=\delta _{\nu ,0}}$ y ${\displaystyle b_{\nu ,n}(1)=\delta _{\nu ,n}}$ donde ${\displaystyle \delta }$es la función delta de Kronecker :${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}}$

• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)}$ tiene una raíz con multiplicidad ${\displaystyle \nu }$ en el punto ${\displaystyle x=0}$ (nota: si ${\displaystyle \nu =0}$, no hay raíz en 0).

• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)}$ tiene una raíz con multiplicidad ${\displaystyle \left(n-\nu \right)}$ en el punto ${\displaystyle x=1}$ (nota: si ${\displaystyle \nu =n}$, no hay raíz en 1).

• La derivada se puede escribir como una combinación de dos polinomios de menor grado:

  ${\displaystyle b'_{\nu ,n}(x)=n\left(b_{\nu -1,n-1}(x)-b_{\nu ,n-1}(x)\right).}$

• La k: ésima derivada en 0:

${\displaystyle b_{\nu ,n}^{(k)}(0)=\sum _{\nu =0}^{n}{\frac {n!}{(n-k)!}}{\binom {k}{\nu }}(-1)^{\nu +k}.}$

• La k: ésima derivada en 1:

${\displaystyle b_{\nu ,n}^{(k)}(1)=(-1)^{k}b_{n-\nu ,n}^{(k)}(0).}$

• La transformación del polinomio de Bernstein en monomios es

  ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)={\binom {n}{\nu }}\sum _{k=0}^{n-\nu }{\binom {n-\nu }{k}}(-1)^{n-\nu -k}x^{\nu +k}=\sum _{\ell =\nu }^{n}{\binom {n}{\ell }}{\binom {\ell }{\nu }}(-1)^{\ell -\nu }x^{\ell },}$

y por la transformación binomial inversa , la transformación inversa es ^[2]

${\displaystyle x^{k}=\sum _{i=0}^{n-k}{\binom {n-k}{i}}{\frac {1}{\binom {n}{i}}}b_{n-i,n}(x)={\frac {1}{\binom {n}{k}}}\sum _{j=k}^{n}{\binom {j}{k}}b_{j,n}(x).}$

• La integral indefinida está dada por

  ${\displaystyle \int b_{\nu ,n}(x)dx={\frac {1}{n+1}}\sum _{j=\nu +1}^{n+1}b_{j,n+1}(x).}$

• La integral definida es constante para un n dado :

  ${\displaystyle \int _{0}^{1}b_{\nu ,n}(x)dx={\frac {1}{n+1}}\quad \ \,{\text{for all }}\nu =0,1,\dots ,n.}$

• Si ${\displaystyle n\neq 0}$, luego ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)}$ tiene un máximo local único en el intervalo ${\displaystyle [0,\ 1]}$ a ${\displaystyle x={\frac {\nu }{n}}}$. Este máximo toma el valor

  ${\displaystyle \nu ^{\nu }n^{-n}\left(n-\nu \right)^{n-\nu }{n \choose \nu }.}$

• Los polinomios de base de Bernstein de grado ${\displaystyle n}$formar una partición de unidad :

  ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{n}b_{\nu ,n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}{n \choose \nu }x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu }=\left(x+\left(1-x\right)\right)^{n}=1.}$

• Tomando la primera ${\displaystyle x}$-derivado de ${\displaystyle (x+y)^{n}}$, tratando ${\displaystyle y}$ como constante, luego sustituyendo el valor ${\displaystyle y=1-x}$, se puede demostrar que

  ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{n}\nu b_{\nu ,n}(x)=nx.}$

• Del mismo modo, el segundo ${\displaystyle x}$-derivado de ${\displaystyle (x+y)^{n}}$, con ${\displaystyle y}$ de nuevo y luego sustituido ${\displaystyle y=1-x}$, muestra que

  ${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}\nu (\nu -1)b_{\nu ,n}(x)=n(n-1)x^{2}.}$

• Un polinomio de Bernstein siempre se puede escribir como una combinación lineal de polinomios de mayor grado:

  ${\displaystyle b_{\nu ,n-1}(x)={\frac {n-\nu }{n}}b_{\nu ,n}(x)+{\frac {\nu +1}{n}}b_{\nu +1,n}(x).}$

• La expansión de los polinomios de Chebyshev del primer tipo en la base de Bernstein es ^[3]

  ${\displaystyle T_{n}(u)=(2n-1)!!\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{n-k}}{(2k-1)!!(2n-2k-1)!!}}b_{k,n}(u).}$

Aproximación de funciones continuas

Sea f una función continua en el intervalo [0, 1]. Considere el polinomio de Bernstein

${\displaystyle B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).}$

Se puede demostrar que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{B_{n}(f)}=f}$

uniformemente en el intervalo [0, 1]. ^{[4] [1] [5] [6]}

Por tanto, los polinomios de Bernstein proporcionan una forma de demostrar el teorema de aproximación de Weierstrass de que toda función continua de valor real en un intervalo real [ a ,  b ] puede aproximarse uniformemente mediante funciones polinomiales sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$. ^[7]

Un enunciado más general para una función con k- ^ésima derivada continua es

${\displaystyle {\left\|B_{n}(f)^{(k)}\right\|}_{\infty }\leq {\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}\left\|f^{(k)}\right\|_{\infty }\quad \ {\text{and}}\quad \ \left\|f^{(k)}-B_{n}(f)^{(k)}\right\|_{\infty }\to 0,}$

donde además

${\displaystyle {\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}=\left(1-{\frac {0}{n}}\right)\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right)}$

es un valor propio de B _n ; la función propia correspondiente es un polinomio de grado  k .

Prueba probabilística

Esta prueba sigue la prueba original de Bernstein de 1912. ^[8] Ver también Feller (1966) o Koralov & Sinai (2007). ^{[9] [10]}

Suponga que K es una variable aleatoria distribuida como el número de éxitos en n ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad x de éxito en cada ensayo; en otras palabras, K tiene una distribución binomial con parámetros n y  x . Entonces tenemos el valor esperado ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {E}} \left[{\frac {K}{n}}\right]=x\ }$ y

${\displaystyle p(K)={n \choose K}x^{K}\left(1-x\right)^{n-K}=b_{K,n}(x)}$

Por la ley débil de un gran número de teoría de la probabilidad ,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{P\left(\left|{\frac {K}{n}}-x\right|>\delta \right)}=0}$

para cada δ  > 0. Además, esta relación se mantiene uniformemente en x , lo que se puede ver en su demostración a través de la desigualdad de Chebyshev , teniendo en cuenta que la varianza de 1 ⁄ n  K , igual a 1 ⁄ n x (1− x ), está acotado desde arriba por 1 ⁄ (4 n ) independientemente de x . 

Dado que f , al ser continuo en un intervalo acotado cerrado, debe ser uniformemente continuo en ese intervalo, se infiere un enunciado de la forma

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{P\left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|>\varepsilon \right)}=0}$

uniformemente en x . Teniendo en cuenta que ƒ está acotada (en el intervalo dado) se obtiene la expectativa

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\operatorname {\mathcal {E}} \left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|\right)}=0}$

uniformemente en x . Con este fin, se divide la suma de la expectativa en dos partes. Por una parte, la diferencia no excede de ε ; esta parte no puede contribuir más que ε . Por otra parte, la diferencia excede ε , pero no excede 2 M , donde M es un límite superior para | ƒ (x) |; esta parte no puede contribuir más de 2 M veces la pequeña probabilidad de que la diferencia exceda ε .

Finalmente, se observa que el valor absoluto de la diferencia entre expectativas nunca excede la expectativa del valor absoluto de la diferencia, y

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {E}} \left[f\left({\frac {K}{n}}\right)\right]=\sum _{K=0}^{n}f\left({\frac {K}{n}}\right)p(K)=\sum _{K=0}^{n}f\left({\frac {K}{n}}\right)b_{K,n}(x)=B_{n}(f)(x)}$

Prueba elemental

La prueba probabilística también se puede reformular de una manera elemental, utilizando las ideas probabilísticas subyacentes pero procediendo mediante verificación directa: ^{[11] [12] [13] [14] [15]}

Se pueden verificar las siguientes identidades:

(1) ${\displaystyle \sum _{k}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=1}$

("probabilidad")

(2) ${\displaystyle \sum _{k}{k \over n}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=x}$

("significar")

(3) ${\displaystyle \sum _{k}\left(x-{k \over n}\right)^{2}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}={x(1-x) \over n}.}$

("diferencia")

De hecho, según el teorema del binomio

${\displaystyle (1+t)^{n}=\sum _{k}{n \choose k}t^{k},}$

y esta ecuación se puede aplicar dos veces a ${\displaystyle t{\frac {d}{dt}}}$. Las identidades (1), (2) y (3) siguen fácilmente usando la sustitución${\displaystyle t=x/(1-x)}$.

Dentro de estas tres identidades, use la notación polinomial de base anterior

${\displaystyle b_{k,n}(x)={n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k},}$

y deja

${\displaystyle f_{n}(x)=\sum _{k}f(k/n)\,b_{k,n}(x).}$

Así, por identidad (1)

${\displaystyle f_{n}(x)-f(x)=\sum _{k}[f(k/n)-f(x)]\,b_{k,n}(x),}$

así que eso

${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leq \sum _{k}|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x).}$

Dado que f es uniformemente continua, dado${\displaystyle \varepsilon >0}$, hay un ${\displaystyle \delta >0}$ tal que ${\displaystyle |f(a)-f(b)|<\varepsilon }$ cuando sea${\displaystyle |a-b|<\delta }$. Además, por continuidad,${\displaystyle M=\sup |f|<\infty }$. Pero entonces

${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leq \sum _{|x-{k \over n}|<\delta }|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x)+\sum _{|x-{k \over n}|\geq \delta }|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x).}$

La primera suma es menor que ε. Por otro lado, por la identidad (3) anterior, y desde${\displaystyle |x-k/n|\geq \delta }$, la segunda suma está limitada por 2 M veces

${\displaystyle \sum _{|x-k/n|\geq \delta }b_{k,n}(x)\leq \sum _{k}\delta ^{-2}\left(x-{k \over n}\right)^{2}b_{k,n}(x)=\delta ^{-2}{x(1-x) \over n}<\delta ^{-2}n^{-1}.}$

( Desigualdad de Chebyshev )

De ello se deduce que los polinomios f _n tienden a f uniformemente.

Generalizaciones a una dimensión superior

Los polinomios de Bernstein se pueden generalizar a k dimensiones. Los polinomios resultantes tienen la forma P _{i 1} ( x ₁ ) P _{i 2} ( x ₂ ) ... P _{i k} ( x _k ) . ^[16] En el caso más simple, solo se consideran los productos del intervalo unitario [0,1] ; pero, usando transformaciones afines de la línea, los polinomios de Bernstein también se pueden definir para los productos [ a ₁ , b ₁ ] × [ a ₂ , b ₂ ] × ... × [ a _k , b _k ] . Para una función continua f sobre elproducto k- veces del intervalo unitario, la prueba de que f ( x ₁ , x ₂ , ..., x _k ) se puede aproximar uniformemente por

${\displaystyle \sum _{i_{1}}\sum _{i_{2}}\cdots \sum _{i_{k}}{n_{1} \choose i_{1}}{n_{2} \choose i_{2}}\cdots {n_{k} \choose i_{k}}f\left({i_{1} \over n_{1}},{i_{2} \over n_{2}},\dots ,{i_{k} \over n_{k}}\right)x_{1}^{i_{1}}(1-x_{1})^{n_{1}-i_{1}}x_{2}^{i_{2}}(1-x_{2})^{n_{2}-i_{2}}\cdots x_{k}^{i_{k}}(1-x_{k})^{n_{k}-i_{k}}}$

es una sencilla extensión de la demostración de Bernstein en una dimensión.^[17]

Ver también

• Interpolación polinomial
• Forma de Newton
• Forma de Lagrange
• QMF binomial (también conocido como wavelet de Daubechies )

Notas

1. Lorentz 1953
2. Mathar, RJ (2018). "Función de base ortogonal sobre el círculo unitario con la propiedad minimax". Apéndice B. arXiv : 1802.09518 .
3. Rababah, Abedallah (2003). "Transformación de la base del polinomio de Chebyshev-Bernstein". Comp. Meth. Apl. Matemáticas . 3 (4): 608–622. doi : 10.2478 / cmam-2003-0038 .
4. Natanson (1964) p. 6
5. Feller 1966
6. Beals 2004
7. Natanson (1964) p. 3
8. Bernstein, 1912
9. Koralov, L .; Sinaí, Y. (2007). " " Prueba probabilística del teorema de Weierstrass " ". Teoría de la probabilidad y procesos aleatorios (2ª ed.). Saltador. pag. 29.
10. Feller 1966
11. Lorentz 1953 , págs. 5-6
12. Beals 2004
13. Goldberg, 1964
14. Akhiezer, 1956
15. Burkill 1959
16. Lorentz 1953
17. Hildebrandt, TH ; Schoenberg, IJ (1933), "Sobre operaciones funcionales lineales y el problema de momento para un intervalo finito en una o varias dimensiones" , Annals of Mathematics , 34 : 327

Referencias

• Bernstein, S. (1912), "Demostración del teorema de Weierstrass fondée sur le calcul des probabilités (Prueba del teorema de Weierstrass basado en el cálculo de probabilidades)" (PDF) , Comm. Matemáticas de Jarkov. Soc. , 13 : 1–2, Traducción en inglés
• Lorentz, GG (1953), Polinomios de Bernstein , University of Toronto Press
• Akhiezer, NI (1956), Teoría de la aproximación (en ruso), traducido por Charles J. Hyman, Frederick Ungar, págs. 30–31, Edición rusa publicada por primera vez en 1940
• Burkill, JC (1959), Conferencias sobre aproximación por polinomios (PDF) , Bombay: Instituto Tata de Investigación Fundamental , págs. 7-8
• Goldberg, Richard R. (1964), Métodos de análisis real , John Wiley & Sons, págs. 263-265.
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• Korovkin, PP (2001) [1994], "Polinomios de Bernstein" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Natanson, IP (1964). Teoría de la función constructiva. Volumen I: Aproximación uniforme . Traducido por Alexis N. Obolensky. Nueva York: Frederick Ungar. Señor  0196340 . Zbl  0133.31101 .
• Feller, William (1966), Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones, Vol. II , John Wiley & Sons, págs. 149-150, 218-222
• Beals, Richard (2004), Análisis. Una introducción , Cambridge University Press , págs. 95–98, ISBN 0521600472

Enlaces externos

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• Este artículo incorpora material de las propiedades del polinomio de Bernstein en PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .