En matemáticas , una partición de unidad de un espacio topológico X es un conjunto R de funciones continuas desde X hasta el intervalo unitario [0,1] tal que para cada punto,,
- hay una vecindad de x donde todas menos un número finito de las funciones de R son 0, y
- la suma de todos los valores de la función en x es 1, es decir,.
Las particiones de unidad son útiles porque a menudo permiten extender las construcciones locales a todo el espacio. También son importantes en la interpolación de datos, en el procesamiento de señales y en la teoría de funciones spline .
Existencia
La existencia de particiones de unidad asume dos formas distintas:
- Dada cualquier cubierta abierta { U i } i ∈ I de un espacio, existe una partición {ρ i } i ∈ I indexada sobre el mismo conjunto I tal que sup ρ i ⊆ U i . Se dice que tal partición está subordinada a la cubierta abierta { U i } i .
- Si el espacio es localmente compacto, dada cualquier cubierta abierta { U i } i ∈ I de un espacio, existe una partición {ρ j } j ∈ J indexada sobre un conjunto de índices J posiblemente distinto de modo que cada ρ j tenga soporte compacto y para cada j ∈ J , supp ρ j ⊆ U i para algunos i ∈ I .
Por lo tanto, se opta por tener los soportes indexados por la cubierta abierta o soportes compactos. Si el espacio es compacto , existen particiones que satisfacen ambos requisitos.
Una cubierta abierta finita siempre tiene una partición continua de unidad subordinada a ella, siempre que el espacio sea localmente compacto y Hausdorff. [1] La paracompactancia del espacio es una condición necesaria para garantizar la existencia de una partición de unidad subordinada a cualquier cubierta abierta . Dependiendo de la categoría a la que pertenezca el espacio, también puede ser una condición suficiente. [2] La construcción utiliza suavizantes (funciones de golpe), que existen en variedades continuas y suaves , pero no en variedades analíticas . Así, para una cubierta abierta de una variedad analítica, generalmente no existe una partición analítica de unidad subordinada a esa cubierta abierta. Ver continuación analítica .
Si R y T son particiones de unidad para los espacios X e Y , respectivamente, entonces el conjunto de todos los pareses una partición de la unidad para el producto cartesiano espacio X × Y . El producto tensorial de funciones actúa como.
Ejemplo
Podemos construir una partición de unidad en mirando un gráfico sobre el complemento de un punto enviando a con centro . Ahora dejaser una función de golpe en definido por
entonces, tanto esta función como se puede extender de forma única a configurando . Entonces, el set forma una partición de unidad sobre .
Definiciones de variantes
A veces se usa una definición menos restrictiva: la suma de todos los valores de la función en un punto particular solo se requiere que sea positiva, en lugar de 1, para cada punto en el espacio. Sin embargo, dado tal conjunto de funcionesse puede obtener una partición de unidad en sentido estricto dividiendo por la suma; la partición se convierte en dónde , que está bien definido ya que en cada punto solo un número finito de términos son distintos de cero. Aún más, algunos autores eliminan el requisito de que los soportes sean localmente finitos, requiriendo solo que para todos . [3]
Aplicaciones
Se puede usar una partición de unidad para definir la integral (con respecto a una forma de volumen ) de una función definida sobre una variedad: Primero se define la integral de una función cuyo soporte está contenido en un solo parche de coordenadas de la variedad; luego se usa una partición de unidad para definir la integral de una función arbitraria; finalmente se muestra que la definición es independiente de la partición de unidad elegida.
Se puede usar una partición de unidad para mostrar la existencia de una métrica de Riemann en una variedad arbitraria.
El método de descenso más empinado emplea una partición de unidad para construir asintóticas de integrales.
El filtro Linkwitz-Riley es un ejemplo de implementación práctica de partición de unidad para separar la señal de entrada en dos señales de salida que contienen solo componentes de alta o baja frecuencia.
Los polinomios de Bernstein de grado fijo m son una familia de polinomios linealmente independientes m +1 que son una partición de unidad para el intervalo unitario.
La partición de unidad se utiliza para establecer aproximaciones suaves globales para funciones de Sobolev en dominios acotados. [4]
Ver también
Referencias
- ^ Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo (3ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pag. 40. ISBN 978-0-07-054234-1.
- ^ Aliprantis, Charalambos D .; Frontera, Kim C. (2007). Análisis dimensional infinito: una guía del autoestopista (3ª ed.). Berlín: Springer. pag. 716. ISBN 978-3-540-32696-0.
- ^ Strichartz, Robert S. (2003). Una guía para la teoría de la distribución y las transformadas de Fourier . Singapur: World Scientific Pub. Co. ISBN 981-238-421-9. OCLC 54446554 .
- ^ Evans, Lawrence (2010-03-02), "Espacios de Sobolev", Ecuaciones diferenciales parciales , Estudios de posgrado en matemáticas, 19 , American Mathematical Society, págs. 253–309, doi : 10.1090 / gsm / 019/05 , ISBN 9780821849743
- Tu, Loring W. (2011), Una introducción a los colectores , Universitext (2a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4419-7400-6 , ISBN 978-1-4419-7399-3, consulte el capítulo 13
enlaces externos
- Información general sobre la partición de la unidad en [Mathworld]
- Aplicaciones de una partición de unidad en [Planet Math]