En la teoría de la probabilidad , las desigualdades de Bernstein dan límites a la probabilidad de que la suma de variables aleatorias se desvíe de su media. En el caso más simple, sean X 1 , ..., X n variables aleatorias de Bernoulli independientes que toman valores +1 y −1 con probabilidad 1/2 (esta distribución también se conoce como distribución de Rademacher ), luego para cada positivo,
1. Deja Ser variables aleatorias independientes de media cero. Suponer que casi seguro, para todos Entonces, para todo positivo ,
2. Deje Ser variables aleatorias independientes de media cero. Supongamos que para algún real positivo y cada entero ,
Luego
3. Deje Ser variables aleatorias independientes de media cero. Suponer que
para todo entero Denotar
Luego,
4. Bernstein también demostró generalizaciones de las desigualdades anteriores a variables aleatorias débilmente dependientes. Por ejemplo, la desigualdad (2) se puede ampliar de la siguiente manera.ser posiblemente variables aleatorias no independientes. Supongamos que para todo entero,
Luego
Se pueden encontrar resultados más generales para martingalas en Fan et al. (2015). [5]
Pruebas
Las demostraciones se basan en una aplicación de la desigualdad de Markov a la variable aleatoria
(según: SNBernstein, Obras completas, Nauka, 1964)
^ SNBernstein, "Sobre una modificación de la desigualdad de Chebyshev y de la fórmula de error de Laplace" vol. 4, # 5 (publicación original: Ann. Sci. Inst. Sav. Ucrania, Sect. Math. 1, 1924)
^ Bernstein, SN (1937). "Об определенных модификациях неравенства Чебышева" [Sobre ciertas modificaciones de la desigualdad de Chebyshev]. Doklady Akademii Nauk SSSR . 17 (6): 275–277.
^ SNBernstein, "Teoría de la probabilidad" (ruso), Moscú, 1927
^ JVUspensky, "Introducción a la probabilidad matemática", McGraw-Hill Book Company, 1937