En teoría de probabilidad y estadística , la distribución de Rademacher (que lleva el nombre de Hans Rademacher ) es una distribución de probabilidad discreta donde una variable aleatoria X tiene un 50% de probabilidad de ser +1 y un 50% de probabilidad de ser -1. [1]
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Una serie (es decir, una suma) de variables distribuidas de Rademacher se puede considerar como un simple paseo aleatorio simétrico donde el tamaño del paso es 1.
Formulación matemática
La función de masa de probabilidad de esta distribución es
En términos de la función delta de Dirac , como
Atado de Van Zuijlen
Van Zuijlen ha demostrado el siguiente resultado. [2]
Sea X i un conjunto de variables aleatorias distribuidas de Rademacher independientes. Luego
El límite es agudo y mejor que el que se puede derivar de la distribución normal (aproximadamente Pr> 0,31).
Límites sobre sumas
Sea { x i } un conjunto de variables aleatorias con una distribución de Rademacher. Sea { a i } una secuencia de números reales. Luego
donde || a || 2 es la norma euclidiana de la secuencia { a i }, t > 0 es un número real y Pr ( Z ) es la probabilidad del evento Z . [3]
Sea Y = Σ x i a i y sea Y una serie convergente casi con seguridad en un espacio de Banach . Para t > 0 y s ≥ 1 tenemos [4]
para alguna constante c .
Sea p un número real positivo. Entonces la desigualdad de Khintchine dice que [5]
donde c 1 y c 2 son constantes dependientes solo de p .
Para p ≥ 1,
Ver también:
- Desigualdad de concentración : un resumen de los límites de cola de las variables aleatorias.
- Desigualdades de Bernstein
Aplicaciones
La distribución de Rademacher se ha utilizado en bootstrapping .
La distribución de Rademacher se puede utilizar para mostrar que distribuido normalmente y sin correlación no implica independiente .
Los vectores aleatorios con componentes muestreados independientemente de la distribución de Rademacher son útiles para varias aproximaciones estocásticas , por ejemplo:
- El estimador de trazas de Hutchinson , [6] que se puede utilizar para aproximar de manera eficiente la traza de una matriz cuyos elementos no son directamente accesibles, sino que están definidos implícitamente a través de productos matriz-vector.
- SPSA , una aproximación de gradiente estocástica sin derivadas, computacionalmente barata, útil para la optimización numérica .
Las variables aleatorias de Rademacher se utilizan en la Desigualdad de simetrización .
Distribuciones relacionadas
- Distribución de Bernoulli : si X tiene una distribución de Rademacher, entonces tiene una distribución de Bernoulli (1/2).
- Distribución de Laplace : si X tiene una distribución de Rademacher e Y ~ Exp (λ), entonces XY ~ Laplace (0, 1 / λ).
Referencias
- ↑ Hitczenko, P .; Kwapień, S. (1994). "Sobre la serie Rademacher". Probabilidad en espacios de Banach . Progreso en probabilidad. 35 . págs. 31–36. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0253-0_2 . ISBN 978-1-4612-6682-2.
- ^ van Zuijlen, Martien CA (2011). "Sobre una conjetura sobre la suma de variables aleatorias independientes de Rademacher". arXiv : 1112.4988 . Código bibliográfico : 2011arXiv1112.4988V . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Montgomery-Smith, SJ (1990). "La distribución de las sumas de Rademacher" . Proc Amer Math Soc . 109 (2): 517–522. doi : 10.1090 / S0002-9939-1990-1013975-0 .
- ^ Dilworth, SJ; Montgomery-Smith, SJ (1993). "La distribución de series de Radmacher con valores vectoriales". Ann Probab . 21 (4): 2046-2052. arXiv : matemáticas / 9206201 . doi : 10.1214 / aop / 1176989010 . JSTOR 2244710 . S2CID 15159626 .
- ^ Khintchine, A. (1923). "Über dyadische Brüche". Matemáticas. Z. 18 (1): 109-116. doi : 10.1007 / BF01192399 . S2CID 119840766 .
- ^ Avron, H .; Toledo, S. (2011). "Algoritmos aleatorios para estimar el rastro de una matriz semidefinida positiva simétrica implícita". Revista de la ACM . 58 (2): 8. CiteSeerX 10.1.1.380.9436 . doi : 10.1145 / 1944345.1944349 . S2CID 5827717 .