Teorema de cobertura de Besicovitch
En análisis matemático , una cubierta de Besicovitch , llamada así por Abram Samoilovitch Besicovitch , es una cubierta abierta de un subconjunto E del espacio euclidiano R N por bolas tal que cada punto de E es el centro de alguna bola en la cubierta.
El teorema de cobertura de Besicovitch afirma que existe una constante c N que depende únicamente de la dimensión N con la siguiente propiedad:
Sea G la subcolección de F que consta de todas las bolas de las c N familias disjuntas A 1 ,..., A c N . La siguiente afirmación, menos precisa, es claramente cierta: todo punto x ∈ R N pertenece a lo sumo a c N bolas diferentes de la subcolección G , y G sigue siendo una tapadera para E (todo punto y ∈ E pertenece a al menos una bola de la subcolección GRAMO). Esta propiedad da en realidad una forma equivalente para el teorema (excepto por el valor de la constante).
En otras palabras, la función S G igual a la suma de las funciones indicadoras de las bolas en G es mayor que 1 E y está limitada en R N por la constante b N ,
Sea μ una medida no negativa de Borel en R N , finita en subconjuntos compactos y sea f una función integrable en μ. Defina la función máxima estableciendo para cada x (usando la convención )
Esta función máxima es semicontinua inferior , por lo tanto medible . La siguiente desigualdad máxima se cumple para cada λ > 0: